Дано:

$R = 5$ м

$F = 6{,}67 \cdot 10^{-9}$ Н

$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

$m - ?$

Решение:

Для двух шарообразных тел можно применить следующую формульную запись закона всемирного тяготения:

$F = G \dfrac{m_1 m_2}{R^2}$

Так как массы шаров одинаковы, формулу можно переписать:

$F = G \dfrac{m^2}{R^2}$

Отсюда:

$m = R \sqrt{\dfrac{F}{G}}$

$m = 5\ \text{м} \cdot \sqrt{\dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-9}\ \text{Н}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}} = 5\ \text{м} \cdot \sqrt{10^2\ \dfrac{\text{кг}^2}{\text{м}^2}} = 5\ \text{м} \cdot 10\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}} = 50$ кг

Ответ: $m = 50$ кг.

Дано:

$m_1, m_2, R$

Найти:

$F_{\text{тяг}} - ?$

Решение:

Так как тела имеют форму шара, то для них справедлива формула:

$F_{\text{тяг}} = G \dfrac{m_1 m_2}{R^2}$,

где $G$ — гравитационная постоянная.

Вычислим значение силы в каждой из указанных ситуаций, записав все данные значения в СИ:

$F_{\text{тяг}\,1} = G \dfrac{2\ \text{кг} \cdot 3\ \text{кг}}{(0{,}8\ \text{м})^2} \approx 9{,}4G$

$F_{\text{тяг}\,2} = G \dfrac{2\ \text{кг} \cdot 0{,}8\ \text{кг}}{(0{,}5\ \text{м})^2} = 6{,}4G$

$F_{\text{тяг}\,3} = G \dfrac{0{,}6\ \text{кг} \cdot 0{,}2\ \text{кг}}{(0{,}2\ \text{м})^2} = 3G$

$F_{\text{тяг}\,4} = G \dfrac{1\ \text{кг} \cdot 2\ \text{кг}}{(1\ \text{м})^2} = 2G$

Сравнивая, получим: $9{,}4G > 6{,}4G > 3G > 2G$

Ответ: $9{,}4G > 6{,}4G > 3G > 2G$.

Дано:

$T = 1$ сут

$R_{\text{З}} = 6400$ км

$\pi = 3{,}14$

СИ:

$T = 86\,400$ с

$R_{\text{З}} = 6400 \cdot 10^3$ м

Найти:

$a_{\text{ц}} - ?$

Решение:

Так как попугай сидит на ветке, его скорость в системе отсчёта, связанной с центром Земли, изменяется только по направлению, то есть он движется с центростремительным ускорением.

Радиус вращения попугая в этой системе отсчёта можно принять равным радиусу Земли, так как высота ветки над поверхностью земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом планеты.

Запишем формулу для центростремительного ускорения:

$a_{\text{ц}} = \dfrac{\upsilon^2}{R_{\text{З}}}$

Так как попугай вращается с постоянным значением скорости, то его движение равномерное, тогда один оборот вокруг планеты $L$ он делает за сутки $T$. Выразив длину окружности через радиус, получим:

$\upsilon = \dfrac{L}{T} = \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T}$

Подставим выражение в формулу ускорения:

$a_{\text{ц}} = \left( \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{R_{\text{З}}} = \dfrac{4\pi^2 R_{\text{З}}}{T^2}$

Вычисляем:

$a_{\text{ц}} = \dfrac{4 \cdot 3{,}14^2 \cdot 6400 \cdot 10^3\ \text{м}}{(86\,400\ \text{с})^2} \approx 0{,}034\ \text{м/с}^2$

Ответ: $a_{\text{ц}} = 0{,}034\ \text{м/с}^2$.

Закономерность между силами, с которыми действуют друг на друга два человека (пусть и посредством каната), можно установить, используя третий закон Ньютона.

Для определения ускорения, которое получает тело за счёт действия силы, можно использовать второй закон Ньютона.

Сила, с которой притягивают друг друга два тела, обладающие массой, может быть определена через закон всемирного тяготения.

Дано:

$m = 2$ кг

$a = 0$

$F = 6$ Н

$g = 9{,}8$ м/с$^2$

Найти:

$\mu - ?$

Решение:

Рассмотрим все силы, действующие на груз. В вертикальном направлении на него действует сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}}$, направленная вертикально вниз. В горизонтальном направлении на него действуют сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная против направления движения груза.

Запишем второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, учитывая, что движение груза равномерное.

$\vec{N} + \vec{F}_{\text{т}} + \vec{F} + \vec{F}_{\text{тр}} = 0$

Введём координатные оси: ось $Ox$ направим по направлению движения, ось $Oy$ направим вертикально вверх. Проецируя на оси, получим:

$Ox$: $F - F_{\text{тр}} = 0$

$Oy$: $N - F_{\text{т}} = 0$

Отсюда получим:

$F = F_{\text{тр}}$

$N = F_{\text{т}}$

Распишем силу трения и силу тяжести:

$F = \mu N$

$N = mg$

Выразим искомый коэффициент и сгруппируем выражения:

$\mu = \dfrac{F}{N} = \dfrac{F}{mg}$

Вычисляем:

$\mu = \dfrac{6\ \text{Н}}{2\ \text{кг} \cdot 9{,}8\ \text{м/с}^2} \approx 0{,}3$

Ответ: $\mu = 0{,}3$.

Дано:

$R_{\text{М}} = 0{,}53 R_{\text{З}}$

$R_{\text{З}} = 6400$ км

$g_{\text{М}} = 3{,}7$ м/с$^2$

Найти:

$\upsilon_{1\text{М}} - ?$

Решение:

Запишем формулу для ускорения свободного падения на Марсе:

$g_{\text{М}} = \dfrac{G M_{\text{М}}}{R_{\text{М}}^2}$, где $M_{\text{М}}$ — масса Марса.

Запишем формулу для первой космической скорости и выполним преобразования:

$\upsilon_{1\text{М}} = \sqrt{\dfrac{G M_{\text{М}}}{R_{\text{М}}}} = \sqrt{\dfrac{G M_{\text{М}}}{R_{\text{М}}} \cdot \dfrac{R_{\text{М}}}{R_{\text{М}}}} = \sqrt{g_{\text{М}} R_{\text{М}}} = \sqrt{0{,}53 g_{\text{М}} R_{\text{З}}}$

Вычисляем:

$\upsilon_{1\text{М}} = \sqrt{0{,}53 \cdot 3{,}7\ \text{м/с}^2 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{м}} \approx 3543\ \text{м/с} \approx 3{,}5\ \text{км/с}$

Ответ: $\upsilon_{1\text{М}} = 3{,}5$ км/с.