Задание 1. Решите уравнения: 1) Пример решения: Ответ: нет решений. Примечание: По определению, результатом извлечения квадратного корня может быть только неотрицательное число. Так как левая часть уравнения неотрицательна, а правая отрицательна, то решений нет. 2) Пример решения: Примечание: При решении данного уравнения важно обратить внимание на степень корня — она нечётная, поэтому при возведении обеих частей уравнения в 3-ю степень мы не получим посторонних корней. 3) Пример решения: Проверка: — верно. — выражение не имеет смысла, так как под корнем получается отрицательное число. Уравнение имеет один корень: х=3. Уравнение имеет решения, если Ответ: 3. Примечание: Уравнение содержит корень чётной степени. Как известно, подкоренное выражение в таком случае должно быть неотрицательным, а для случая, когда корень располагается в знаменателе, — положительным. В данном случае можно было описать ограничения и проверять корни на соответствие этим условиям. Посторонние корни в данном уравнении появляются из-за того, что мы выполняем неравносильный переход. Поэтому необходимо выполнить проверку решений через систему ограничений или подстановкой в исходное уравнение. 4) Пример решения: возведём обе части в квадрат при условии, что Решим уравнение: Уравнение имеет решения, если выполняются все ограничивающие условия: Поэтому ответ: 6. Примечание: Посторонние корни в данном уравнении появляются из-за того, что мы дважды выполняем неравносильный переход при возведении в квадрат. Поэтому необходимо выполнить проверку решений через систему ограничений или подстановкой в исходное уравнение. Второй способ в данном случае неудобен из-за дробных ответов. 5) Пример решения: Пусть По теореме Виета: (не подходит). Обратная замена: Ответ: 15 625. Примечание: При записи замены условие можно было опустить. Тогда при обратной замене мы получили бы ещё одно уравнение: Так как корень чётной степени, уравнение не имело бы корней. Задание 2. Решите системы уравнений: 1) Пример решения : Преобразуем второе уравнение системы. Пусть Исходную систему можно переписать как Решим первую систему. Решим вторую систему. Ответ: (16; 25),(25; 16). Примечание: При решении второй системы можно было заметить её схожесть с первой и сразу же записать ответ. Важно помнить, что ответ к системе уравнений — это всегда пара чисел (х;у). 2) Пример решения: Заметим, что x>0,y>0. Преобразуем первое уравнение системы. Подставим найденное значение для y во второе уравнение системы. Получим (не подходит) Ответ: (4; 2). Примечание: Важно не забыть записать ограничения на переменные, так как они стоят под логарифмами. 3) Пример решения: Пусть тогда система примет следующий вид: Обратная замена. Выполняя обратную замену, получаем ответ: (64; 8),(-8; -64). Примечание: Можно выполнить проверку для исключения вычислительных ошибок. Но, так как неравносильных переходов не выполнялось, посторонних корней не было. Иллюстрации к разбору: - Screenshot_7.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/ab574477-0f2e-4265-804b-7ddd0e87a866?1770029233 - Screenshot_8.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/3c91a5f8-08cf-4298-a543-82c2ad337ff5?1770029309 - Screenshot_9.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/0267f7e3-19b0-4311-b0b4-55ae94697512?1770029343 - Screenshot_10.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/a8216c35-ec44-4575-9d72-d0d4474ce533?1770029377 - Screenshot_11.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/542b07ff-e02b-41d9-b2d4-9bb8640612ec?1770029409 - Screenshot_12.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/537dcefd-28f4-4a79-8c0b-0040c87ee587?1770029441 - Screenshot_15.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/d503ad82-b94a-4dd4-bcc1-48c481c78d1a?1770029537 - Screenshot_14.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/e954823b-5de8-4cdb-b996-e5e412dc5baf?1770029503 - Screenshot_16.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/88153499-1b33-4d80-865c-7d67669b25c3?1770029606 - Screenshot_16.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/198f6a62-8634-4371-b642-b5e88a6eb344?1770029652 - Screenshot_17.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/ae280095-1511-4570-aa9a-f1b3a748f6b7?1770029683 - Screenshot_18.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/a23be54e-f447-41a4-821b-586482d10396?1770029721 - Screenshot_19.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/b876a104-3ce2-4cbb-9d2e-bd65a8dd35c9?1770029747 - Screenshot_20.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/01197038-bced-4519-9950-1a3b4039890c?1770029780 - Screenshot_21.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/f7119549-9089-4ee5-b3df-74e608cd20c6?1770029811 - Screenshot_22.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/29fbb786-ab5f-4b34-9646-a8e5afd1e3b5?1770029851 - Screenshot_23.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/3d16910d-32f3-4524-bd20-71d36c56fc2b?1770029903 - Screenshot_24.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/aa5f023c-86f2-43b3-a668-60709348ed31?1770029946 - Screenshot_25.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/f47a3437-7faf-4929-b64d-78e9e70a974f?1770029979 - Screenshot_26.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/ca94fea6-9489-4a82-9821-e9349640a376?1770030008 - Screenshot_27.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/7ffe7924-4144-448a-b355-954eb198fb28?1770030055 - Screenshot_28.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/05c22ce2-d7bc-4c06-a118-0401ab8eaf62?1770030096 - Screenshot_29.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/c9c9a3a4-aad8-4ab7-b427-76a0c1b601e5?1770030161 - Screenshot_31.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/340e5db5-1424-49eb-a4cd-0d10e71c51a7?1770030200 - Screenshot_32.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/c2b778ec-fcd9-41d1-b72a-e38bf7506c26?1770030255 - Screenshot_33.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/0a9cb070-62ff-4dfb-8c77-dfbc419950a0?1770030312 - Screenshot_35.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/fc6a2df5-8db4-4643-bf8b-7e16b93b8d29?1770030363 - Screenshot_36.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/6040ea18-a9d9-4be8-8662-87efc2adbe67?1770030394 - Screenshot_37.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/2036ee26-be65-4e87-b5a4-d2ac0a0a6ae6?1770030423 - Screenshot_38.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/6c08c079-4752-4834-8875-0e37090fb7cd?1770030454 - Screenshot_39.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/2169f4ff-34e9-4f12-aefa-ab4d6ce4081a?1770030501 - Screenshot_40.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/4b50a718-5d59-49a7-8162-55f62816cc00?1770030589 - Screenshot_41.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/27d69284-88b4-4e4a-b753-9a80b9d92db4?1770030685 - Screenshot_42.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/9a6313e8-f3fa-4505-a9cd-181f45468c3f?1770030723 - Screenshot_43.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/c8286f1a-74ce-4ed2-a97c-552cb391eea7?1770030750 - Screenshot_44.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/e94f5457-9acb-48af-96f1-091ee9397de7?1770030777 - Screenshot_45.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/8c2b00e6-089a-4e8e-92a8-8c3db633a009?1770030826 - Screenshot_47.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/d77c4673-24e2-4932-a5b7-c4f491881adf?1770030882 - Screenshot_48.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/4a670871-47bb-45ac-a1c0-afc9759db38c?1770030910 - Screenshot_49.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/21ebafaf-da44-4c6d-ba0a-ce0fd582375e?1770030932 - Screenshot_50.png: https://cdn-fs.interneturok.ru/2e6b8868-b8b9-45a5-b3f8-bb9b5350d774?1770030959