Задание 1.

Вычислите значения выражений:

а) cos 2130°.

Пример решения:

Примечание:

В данном задании воспользуемся периодичностью функции косинус, 360° · 6 — это 6 полных оборотов по окружности, поэтому их мы можем «отбросить» при расчётах, полный оборот вернёт нас в начало отсчёта. Также помним про чётность функции косинус, поэтому cos (−30°) = cos 30°

б) .

Пример решения:

Примечание:

В данном задании воспользуемся периодичностью функции синус, 12π — это 6 полных оборотов по окружности, поэтому их мы можем «отбросить» при расчётах, полный оборот вернёт нас в начало отсчёта.

в) .

Пример решения:

Примечание:

При решении данного задания мы использовали нечётность котангенса, поэтому в начале решения мы «вынесли» минус из-под знака аргумента перед функцией. Далее воспринимаем  как три полных оборота по окружности, которые приведут нас снова в начало отсчёта, поэтому убираем их.

 

Задание 2.

Известно, что .

Найдите значения выражений:

а) cos x.

Пример решения:

cos²x = 1 − sin²x

cos²x = 1 −(−0,8)² = 1 − 0,64 = 0,36. Так как 

cos x = −0,6.

Примечание:

При решении задания используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1. Заметим, что при нахождении cos x нам требуется оценить, в какой четверти расположен аргумент (в нашем случае это третья четверть), что влияет на выбор знака после извлечения квадратного корня.

б) tg x.

Пример решения:

Примечание:

Для решения задания воспользуемся формулой .

в) cos 2x.

Пример решения:

cos 2x = cos²x − sin²x

cos2x = 0,36 − 0,64 = − 0,28

Примечание:

В данном решении мы использовали формулу косинуса двойного аргумента. Стоит отметить, что эту формулу можно привести к виду cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − sin²x − sin²x = 1 −2 sin²x или cos 2x = cos²x − sin²x = cos²x − (1 − cos²x) = 2 cos²x − 1, заменив одну из тригонометрических функций на другую по основному тригонометрическому тождеству.

 

Задание 3.

Упростите выражение:

Пример решения:

Примечание:

При решении мы использовали формулы и основное тригонометрическое тождество sin²2α + cos²2α = 1.

Так как при упрощении образуется многоэтажная дробь, вспоминаем правило выполнения деления (деление заменяем на умножение, а дробь на ей обратную) и переносим самый нижний знаменатель в числитель дроби.