По теореме Безу, остаток от деления $A(x)$ на $(x+2)$ равен $A(-2)$.

$A(x)=6x^3+5x^2-6x+16$

$A(-2)=6\cdot(-2)^3+5\cdot(-2)^2-6\cdot(-2)+16=6\cdot(-8)+5\cdot4+12+16=-48+20+12+16=0$

$R(x)=0$

По теореме Безу, остаток от деления $A(x)$ на $x-1$ равен $A(1)$.

$A(x)=(x-2)^9$

$A(1)=(1-2)^9=(-1)^9=-1$

Ответ:

$R(x)=-1$

Открыть изображение ↗ Остаток R(x)=5x-20, неполное частное Q(x)=5x+6.

Найдём целые корни среди делителей свободного члена $(-6)$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.

Проверяем $x=-1$.

$3\cdot(-1)^3+4\cdot(-1)^2-17\cdot(-1)-6=-3+4+17-6=12\ne0$

Проверяем $x=2$.

$3\cdot2^3+4\cdot2^2-17\cdot2-6=3\cdot8+4\cdot4-34-6=24+16-34-6=0$

Таким образом, $x=2$ — корень. Делим многочлен $3x^3+4x^2-17x-6$ на $x-2$ уголком: Открыть изображение ↗ Получаем:

$3x^3+4x^2-17x-6=(x-2)(3x^2+10x+3)$.

Решаем квадратное уравнение $3x^2+10x+3=0$.

$D=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64$

$x=\dfrac{-10\pm8}{6}=-\dfrac13;,-3$

Произведение корней:

$-\dfrac13\cdot(-3)\cdot2=2$.

По теореме Безу:

при делении на $x+2$, остаток равен $P(-2)$:

$P(-2)=(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-18=-8+4a-2b-18=4a-2b-26$

$4a-2b-26=20\Rightarrow4a-2b=46\Rightarrow2a-b=23$

При делении на $x-3$ остаток равен $P(3)$:

$P(3)=3^3+a\cdot3^2+b\cdot3-18=27+9a+3b-18=9a+3b+9$

$9a+3b+9=0\Rightarrow9a+3b=-9\Rightarrow3a+b=-3$

Решим систему:

$\begin{cases} 2a-b=23\ 3a+b=-3 \end{cases}$

Складываем оба уравнения:

$(2a-b)+(3a+b)=23-3\Rightarrow5a=20\Rightarrow a=4$

Подставляем $a=4$ в первое уравнение:

$2\cdot4-b=23\Rightarrow8-b=23\Rightarrow b=-15$

$a=4,\quad b=-15$

Сделаем замену $3^x=t,t>0$.

Неравенство примет вид:

$\frac{t^2-3t-19}{t-6}+\frac{9t^2-81t+2}{t-9}\leq10t+3$

Разделим в столбик числители первой и второй дробей на их знаменатели. Открыть изображение ↗ Открыть изображение ↗ Неравенство примет вид:

$t+3-\frac{1}{t-6}+9t+\frac{2}{t-9}\leq10t+3$

$\frac{2}{t-9}-\frac{1}{t-6}\leq0$

$\frac{2t-12-t+9}{(t-9)(t-6)}\leq0$

$\frac{t-3}{(t-9)(t-6)}\leq0$

Решим неравенство методом интервалов. Открыть изображение ↗ $t\leq3$ или $6<t<9$

Выполним обратную замену:

$3^x\leq3;\quad6<3^x<9$

$x\in(-\infty;1]\cup(\log_3 6;2)$

Таким образом, наибольшее отрицательное число из решения неравенства — это $-1$.