$cos~ x=\frac{1}{2}$

$x=±arccos⁡\frac{1}{2}+2πn,n∈Z$

Ответ в градусной мере, значит:

$arccos⁡⁡\frac{1}{2}=\frac{π}{3}, \frac{π}{3}=60°.$

$2π=360°;$

$x=±60°+360°n,$ где $n∈Z.$

Ответ: $x=±60°+360°n,$ где $n∈Z.$

$sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=arcsin⁡\frac{3}{2}+2πn,где n∈Z;$

$x=π-arcsin⁡ \frac{\sqrt{3}}{2}+2πk,где k∈Z.$

Ответ в градусной мере, значит:

$arcsin⁡\frac{\sqrt{3}}{2}=60°,$

$2π=360°.$

$x=60°+360°n,$ где $n∈Z;$

$x=120°+360°k,$ где $k∈Z.$

$tg x=1$

$x=acctg 1+πn,$ где $n∈Z.$

Ответ в градусной мере, значит:

$arctg 1=45°,$

$π=180°.$

$x=45°+180°n, где n∈Z.$

$sin ~10x=-\frac{1}{2}$

$10x=arcsin⁡(-\frac{1}{2})+2πn,где n∈Z;$

$10x=π-arcsin⁡(-\frac{1}{2})+2πk,где k∈Z.$

$arcsin⁡(-\frac{1}{2})=-\frac{π}{6}.$

$10x=-\frac{π}{6}+2πn,где n∈Z;$

$10x=π-(-\frac{π}{6})+2πk,где k∈Z.$

$x=-\frac{π}{60}+\frac{π}{5} n,где n∈Z;$

$x=\frac{7π}{60}+\frac{π}{5} k,где k∈Z.$

Ответ в градусной мере, значит:

$π=180°.$

$x=-\frac{180°}{60}+\frac{180°}{5} n,где n∈Z;$

$x=\frac{7~\cdot~180°}{60}+\frac{180°}{5} k,где k∈Z.$

$x=-3°+36°n,где n∈Z;$

$x=21°+36°k,где k∈Z.$

Из предложенных ответов:

$x=21°+36°n,где n∈Z;$

$x=-3°+36°+36°k,где k∈Z⇒x=33°+36°k,где k∈Z.$

Ответ: $x=21°+36°n,где n∈Z;$

$x=33°+36°k,где k∈Z.$

$ctg ~\frac{2πx-10π}{3}=\sqrt3$

$\frac{2πx-10π}{3}=arcctg\sqrt3+πn,n∈Z$

$\frac{2πx-10π}{3}=\frac{π}{6}+πn,n∈Z$

$2πx-10π=\frac{π}{2}+3πn,n∈Z$

$2πx=10π+\frac{π}{2}+3πn,n∈Z$

$2πx=\frac{21π}{2}+3πn,n∈Z$

$x=\frac{21}{4}+\frac{3n}{2},n∈Z$

Найдём наименьший неотрицательный корень:

при $n=0: x=5,25;$

при $n=-1: x=5,25-1,5=3,75;$

при $n=-2: x=5,25-3=2,25;$

при $n=-3: x=5,25-4,5=0,75;$

при $n=-4: x=5,25-6=-0,75;$

Последовательность корней возрастает, значит, при дальнейшем уменьшении n корни будут уменьшаться, тогда наименьший неотрицательный корень $0,75.$

Ответ: $0,75$.

$cos ~ \frac{4πx+15π}{12}=\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{4πx+15π}{12}=±~arccos⁡\frac{\sqrt3}{2}+2πn,n∈Z$

$\frac{4πx+15π}{12}=\frac{π}{6}+2πn,n∈Z$ или $\frac{4πx+15π}{12}=-\frac{π}{6}+2πk,k∈Z$

$4πx+15π=2π+24πn,n∈Z$ или $4πx+15π=-2π+24πk,k∈Z$

$4πx=2π-15π+24πn,n∈Z$ или $4πx=-2π-15π+24πk,k∈Z$

$4πx=-13π+24πn,n∈Z$ или $4πx=-17π+24πk,k∈Z$

$x=-3,25+6n,n∈Z$ или $x=-4,25+6k,k∈Z$

Найдём наибольший отрицательный корень:

при $n=0:x=-3,25;$

при $n=1:x=-3,25+6=2,75;$

при $k=0:x=-4,25;$

при $k=1:x=-4,25+6=1,75$.

$-3,25>-4,25$

Ответ: $-3,25$.

$sin ~\frac{8πx-9π}{16}=-\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{8πx-9π}{16}=arcsin⁡(-\frac{\sqrt2}{2})+2πn,n∈Z или \frac{8πx-9π}{16}=π-arcsin⁡(-\frac{\sqrt2}{2})+2πk,k∈Z$

$\frac{8πx-9π}{16}=-\frac{π}{4}+2πn,n∈Z$ или $\frac{8πx-9π}{16}=π-(-\frac{π}{4})+2πk,k∈Z$

$\frac{8πx-9π}{16}=-\frac{π}{4}+2πn,n∈Z$ или $\frac{8πx-9π}{16}=\frac{5π}{4}+2πk,k∈Z$

$8πx-9π=-4π+32πn,n∈Z или 8πx-9π=20π+32πk,k∈Z$

$8πx=9π-4π+32πn,n∈Z или 8πx=20π+9π+32πk,k∈Z$

$8πx=5π+32πn,n∈Z или 8πx=29π+32πk,k∈Z$

$x=0,625+4n,n∈Z или x=3,625+4k,k∈Z$

Найдём наибольший отрицательный корень:

при$n=0:x=0,625;$

при $n=-1:x=0,625-4=-3,375;$

при $k=0:x=3,625;$

при $k=-1:x=3,625-4=-0,375.$

Ответ: $-0,375.$