$f(x)=4x^3+5x^4+7$

$F(x)=ax^n+bx^m+kx+C$

$f(x)=x^m→F(x)=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C$

$F(x)=4\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}+5\cdot \frac{x^{4+1}}{4+1}+7x+C$

$F(x)=x^4+x^5+7x+C$

Ответ: $a=1;$

$n=4;$

$b=1;$

$m=5;$

$k=7.$

По свойству первообразной: $(\frac{1}{k}F(kx+b))'=f(kx+b)$.

$f(x)=sin⁡x→F(x)=-cos⁡x+C$

$f(x)=sin(2x+3)$

$F(x)=\frac{1}{2}\cdot(-cos⁡(2x+3) )+C$

$F(x)=-\frac{cos⁡(2x+3)}{2}+C$

$F(x)=-\frac{cos(ax+b)}{k}+C$

Ответ: $a=2;b=3;k=2$.

$f(x)=cos~⁡x→F(x)=sin⁡~x$

$\int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosx~ dx=sin⁡~x |_0^\frac{\pi}{2}=sin⁡\frac{\pi}{2}-sin⁡0=1-0=1$

Ответ: 1.

$\int_{0}^{2} x^3 dx=\frac{1}{4} x^4 |_{0}^{2}=\frac{1}{4}\cdot 2^4-\frac{1}{4}\cdot 0^4=\frac{1}{4}\cdot 16=4$

Ответ: $4$.

$f(x)=\frac{3x^3+3x+3}{x}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$f(x)=3x^2+3+\frac{3}{x}$

$F(x)=3\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+3x+3\cdot ln⁡|x|+C$

$F(x)=x^3+3x+3~ ln⁡|x|+C$

$F(x)=ax^n+bx^m+kln|x|+C$

Ответ: $a=1;n=3;b=3;m=1;k=3$.

$\int \frac{6x^4+3x^2+3}{1+x^2} dx=3\cdot \int \frac{2x^4+x^2+1}{1+x^2 }dx=$

$=3\cdot \int \frac{2x^4-2}{1+x^2} dx+3\int \frac{2}{1+x^2} dx+3\int \frac{x^2+1}{1+x^2}dx=$

$=3\cdot 2\cdot \int \frac{x^4-1}{1+x^2} dx+3\cdot 2~arctg~x+3x+C=$

$=6\int \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{1+x^2}dx+6~arctg~ x+3x+C=$

$=6\int (x^2-1) dx+3x+6~arctg ~x+C=$

$=6\cdot \frac{x^3}{3}-6x+3x+6~arctg~ x+C=$

$=2x^3-3x+6~arctg~ x+C$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=arctg~ x+C$

$F(x)=ax^3+bx+karctg~x+C$

Ответ: $a=2;b=-3;k=6$.