Равенство $$f'(x) = 0$$ выполняется в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$.

По рисунку посчитаем количество точек максимума и минимума функции $$f(x)$$ на интервале (3; 17).

Ответ: 5.

Если значение функции возрастает с увеличением $$x$$, то коэффициент $$k$$ положителен, если убывает — отрицателен. Значение $$b$$ соответствует значению функции в точке $$x = 0$$, следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение $$b$$ положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

1. Для решения задачи будем использовать формулу, позволяющую найти абсциссу вершины параболы: $$x_0=-b/(2a)$$.

2. Абсцисса точки вершины параболы $$𝑥_0 = -2$$. Подставим это значение в формулу из пункта 1:

$$-2=-b/(2a)$$, тогда $$b = 4a$$.

3. Парабола пересекает ось $$Oy$$ в точке с ординатой –3, значит, $$c=-3$$.

4. Подставим найденные значения в уравнение параболы, получим:

$$y=ax^2+4ax-3$$

5. Из графика видно, что координаты вершины параболы — (–2; –11). Подставим эти значения в выражение, полученное в пункте 4:

$$-11=4a-8a-3$$

$$4a=8$$

$$a = 2$$.

Ответ: 2.

Точка (2; –2) принадлежит графику, подставим координаты в формулу и найдём $$k$$:

$$-2=k/2$$

$$k=-4$$

$$y=5x-7$$ — линейная функция, угловой коэффициент $$5 > 0$$, значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

$$y=-5x-7$$ — линейная функция, угловой коэффициент $$–5 < 0$$, значит, функция убывает на всей числовой прямой.

$$y=3x^2+9x+2$$ — квадратичная функция, график — парабола, ветви направлены вверх, точка минимума — вершина, $$x_в = \frac{-9}{6} = -1,5 \in [-2;5]$$.

$$y=-3x^2+9x$$ — квадратичная функция, график — парабола, ветви направлены вниз, точка максимума — вершина, $$x_в=\frac{-9}{-6} = 1,5 \in [-2;5]$$.

Значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$, а угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительной полуоси $$Ox$$.

Угол наклона касательной к положительной полуоси $$Ox$$ является острым и равен соответствующему углу прямоугольного треугольника с вершинами в выделенных точках:

$$f'(x_0) = \tg \alpha = 2/8 = 0,25$$

Производная отрицательна на промежутках убывания функции и положительна на промежутках её возрастания.

Положительным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $$y=f(x)$$ возрастает. В этих интервалах лежат точки $$x_1, x_2, x_6, x_7, x_8$$. Таких точек 5.

Ответ: 5.

Вспомним, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

Поскольку касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y = 3x-7$$ или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 3. Значит, производная функции $$f(x)$$ в искомых точках тоже равна 3.

$$f`(x_0) = k= 3$$

Проведём прямую $$y=3$$, параллельную оси $$Ox$$, и посчитаем количество точек пересечения с графиком производной функции $$f(x)$$.

Правильный ответ: 4.