Для решения данного упражнения используем следующее свойство корня: $\left( \sqrt{a} \right)^2=a$.

${\Large\frac{ \left( 6\sqrt{10} \right)^2}{60}}= {\Large\frac{36\cdot10}{60}}=6$

Используем формулу разности квадратов:

$\left( a-b \right) \left( a+b \right)=a^2-b^2$

Получим:

$\left( 4+3\sqrt{7} \right) \left( 4-3\sqrt{7} \right) = 4^2- \left( 3\sqrt{7} \right)^2 = 16-63=-47$

Используем формулу разности квадратов:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Получим:

${\Large\frac{1157^2-31^2}{1126}}={\Large\frac{ \left( 1157-31 \right) \left( 1157+31 \right)}{1126}}={\Large\frac{1126\cdot1188}{1126}}=1188$

Заметим, что $27=3^3$.

Вспомним свойство степени: $a^m \cdot a^n=a^{m + n}$.

$3^{1,49}\cdot 27^{0,17} = 3^{1,49} \cdot \left( 3^3 \right)^{0,17} = 3^{1,49} \cdot 3^{0,51} = 3^2 =9$

Вспомним свойство степени: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$.

${\Large\frac{7^6 \cdot 7^3}{7^7}} = {\Large\frac{7^9}{7^7}}=49$

Вспомним свойство степени: $a^m \cdot b^m = \left( ab \right)^m$, ${\Large\frac{a^{m}}{b^{m}}}=\left({\Large\frac{a}{b}}\right)^{m}$.

$3^{20} \cdot 5^{21}: 15^{19} = {\Large\frac{ \left( 3 \cdot 5 \right)^{20} \cdot 5}{15^{19}}} = {\Large\frac{15^{20} \cdot 5}{15^{19}}}=15 \cdot 5 = 75$

$\left( \sqrt{17} + \sqrt{1088} \right) \cdot \sqrt{17} = \left( \sqrt{17} + \sqrt{64 \cdot 17} \right) \cdot \sqrt{17} =\left( \sqrt{17} +8\sqrt{17} \right) \cdot \sqrt{17} = 9\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 9 \cdot 17=153$

Заметим, что $10^{4,7}= 5^{4,7} \cdot 2^{4,7}$.

$5^{5,7} \cdot 2^{6,7}:10^{4,7} = {\Large\frac{5^{5,7} \cdot 2^{6,7}}{5^{4,7} \cdot 2^{4,7} }} = 5 \cdot 4 = 20$

Вспомним свойство степени:

$a^m \cdot b^m = \left( ab \right) ^m$, ${\Large\frac{a^m}{b^m}}= \left( {\Large\frac{a}{b}} \right)^m$

${\Large\frac{3^{12} \cdot 11^{13}}{33^{12}}} = {\Large\frac{ \left( 3 \cdot 11 \right)^{12} \cdot 11}{33^{12}}} = 11$