При переходе через точку минимума изменяется характер монотонности функции: слева от точки минимума функция убывает, справа — возрастает.

1) $$y'=6x^2+12x-18$$

2) Найдём стационарные точки $$y'=0$$:

$$6x^2+12x-18=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$x=1$$ или $$x=-3$$

Обе стационарные точки принадлежат промежутку $$[-4;3]$$.

3) Вычислим значение функции в найденных стационарных точках и на концах отрезка.

$$y_{наиб.}=61$$

$$y_{наим.}=-3$$

1) $$y' = \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)' = \frac{ \left( 2x \right)' \left( 1+x^2 \right)-2x \left( 1+x^2 \right)' }{ \left( 1+x^2 \right)^2} =$$

$$= \frac{2+2x^2-4x^2}{ \left( 1+x^2 \right)^2} = \frac{2-2x^2}{ \left( 1+x^2 \right)^2}$$

2) Найдём стационарные точки $$y'=0$$:

$$2-2x^2=0$$

$$x^2=1$$

$$x=1$$ или $$x=-1$$

Обе стационарные точки принадлежат промежутку $$[-3;+\infin)$$.

3) Вычислим значение функции в найденных стационарных точках и на концах отрезка.

$$y_{наиб.}=1$$

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см. Полупериметр прямоугольника — 9 см, тогда вторая сторона равна $$\left( 9-x \right)$$ см.

По условию задачи получим:

$$S = x \left( 9-x \right) = 9x-x^2$$.

Найдём наибольшее значение полученной функции $$S$$.

$$S'=9-2x$$

Критических точек нет. Найдём стационарные точки. Приравняв производную к нулю, получим:

$$9-2x=0$$

$$x=4,5$$

Заметим, что при $$x < 4,5~~~S'>0$$, а при $$x > 4,5~~~S'<0$$

Значит, точка $$x=4,5$$ является точкой максимума функции.

$$\left( 9-x \right) = 4,5$$ см — вторая сторона прямоугольника.

Вычислим $$S_{наиб.}= 4,5^2=20,25$$.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4,5 см, наибольшая площадь при заданном периметре — 20,25 см$$^2$$.

Пусть боковая сторона треугольника равна $$x$$ см, тогда основание треугольника — $$\left( 30-2x \right)$$ см.

По условию задачи получим:

$$S=\sqrt{\vphantom{'} 15 \left( 15-x \right) \left( 15-x \right)\left( 15- \left( 30-2x \right) \right) }$$;

$$S=\sqrt{\vphantom{'} 15\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left( 2x-15 \right) } = \left( 15-x \right) \sqrt{\vphantom{'} 15\left( 2x-15 \right)}$$

Найдём наибольшее значение полученной функции $$S$$.

$$S' = -\sqrt{\vphantom{'} 15 \left( 2x-15 \right)} + \frac{30 \left( 15-x \right) }{ 2\sqrt{\vphantom{'} 15 \left( 2x-15 \right)}} =$$

$$= \frac{15\left( 15-x \right) - 15 \left( 2x-15 \right)}{\sqrt{\vphantom{'} 15 \left( 2x-15 \right)}} = \frac{15\left( 30-3x \right) }{\sqrt{\vphantom{'} 15 \left( 2x-15 \right)}}$$

Найдём стационарные точки. Приравняв производную к нулю, получим:

$$15 \left( 30-3x \right)=0$$

$$3x=30$$

$$x=10$$

Заметим, что при $$x<10~~~ S'>0$$, а при $$x>10~~~ S'<0$$. Значит, точка $$x=10$$ является точкой максимума функции.

$$30-2x=10$$ см — основание треугольника.

Ответ: боковые стороны треугольника равны 10 см, а основание — 10 см.

$$f(x) = x\sqrt{\vphantom{'} 3-x}$$

Найдём область определения функции:

$$D(f) : 3-x≥0$$

$$x≤3$$

$$D(f) =(-Б;3]$$

$$f' (x)=\sqrt{(3-x)}+x\cdot \frac{-1}{(2\sqrt{3-x})}=\frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}}=\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$$

Найдём стационарные точки: $f' (x)=0$

$$x=2$$

При $x=3 f' (x)$ не существует, но в этой точке не происходит смены знака производной, так как $\sqrt{3-x}>0$ при всех $x≠3$ из области определения.

Заметим, что при $x>2 f'(x)<0$, при $x<2 f'(x)>0$. Значит, $x=2$ точка максимума функции.

Промежуток возрастания функции $(-Б;2]$.

Ответ: $D(f)=(-Б;3]$

Стационарная точка: $x = 2$.

Точка экстремума: $x = 2$.

Вид точки экстремума: 1.

Промежуток возрастания функции $(-Б;2]$.