При $a>0$ график функции $y=f(x+a)$ получается из графика функции f(x) сдвигом влево на a вдоль оси $Ox$, а график функции $y=f(x)+a$ получается из графика функции $f(x)$ сдвигом вверх на a вдоль оси $Oy$.

Для построения графика функции $y=7(x+65)^2+29$ необходимо график функции $y=7x^2$ сдвинуть вдоль оси $Ox$ на $65$ ед. масштаба влево и на $29$ ед. масштаба вверх.

$x_0=-{\Large\frac{b}{2a}}=-{\Large\frac{8}{2 \cdot 2}}=-2$

$y_0=2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2)+13=5$

Чтобы построить график функции $y=(x+3)^2-2$, сдвигаем график функции $y=x^2$ на $3$ единичных отрезка влево и на $2$ единичных отрезка вниз. Координаты вершины параболы:

$x_0=-3$

$y_0=-2$

Ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ равна $7$.

Открыть изображение ↗ Рис. 2. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Абсцисса точки пересечения графика с осью $Oy$ равна $0$:

$y=0^2+8 \cdot 0+8=8$.

Найдём координаты вершины параболы.

$x_0=-{\Large\frac{b}{2a}}=-{\Large\frac{8}{2 \cdot 1}}=-4,$

$y_0=(-4)^2+8 \cdot (-4)+8=-8$.

Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх, поэтому в вершине функция принимает наименьшее значение, а $E(y)=[-8; +\infty)$.

Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз, поэтому в вершине функция принимает наибольшее значение, а наименьшего значения не существует.

Найдём координаты вершины параболы.

$x_0=-{\Large\frac{b}{2a}}=-{\Large\frac{-4}{2 \cdot (-1)}}=-2$

$y_0=-(-2)^2-4 \cdot (-2)+8=12$.