$$AC₁ = \sqrt{8^{2} + 6^{2} + 24^{2}} = \sqrt{64 + 36 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

Правильная четырёхугольная призма — прямая призма, в основании которой лежит квадрат.

Диагональное сечение — прямоугольник, поэтому его площадь можно найти как произведение смежных сторон:

$$S = BD ⋅ DD₁$$

Открыть изображение ↗

Диагональ квадрата вычислим с помощью теоремы Пифагора:

$$BD = \sqrt{(7\sqrt{2})^{2} + (7\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{49 ⋅ 2 + 49 ⋅ 2} = \sqrt{196} = 14$$ см.

$$S = 14 ⋅ 11 = 154$$ см²

Открыть изображение ↗

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник.

Диагональ $$BC$$ осевого сечения разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. В нём $$∠B = 60°$$, значит, $$∠C = 90° - 60° = 30°$$. Катет, лежащий напротив угла, равного $$30°$$, равен половине гипотенузы, поэтому

$$D = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} ⋅ 18 = 9$$ см

$$V_{куба} = V_{параллелепипеда} = 28 ⋅ 147 ⋅ 18$$

$$a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{28 ⋅ 147 ⋅ 18} = \sqrt[3]{7 ⋅ 2^{2} ⋅ 3 ⋅ 7^{2} ⋅ 2 ⋅ 3^{2}} = 7 ⋅ 2 ⋅ 3 = 42$$ см.

Ответ: $$42$$ см.

$$S_{осн} = 6² = 36$$ см²

$$h_{пирам} = EO = \frac{3V}{S_{осн}} = \frac{3 ⋅ 48}{36} = 4$$ см

Открыть изображение ↗

Треугольник $$OEM$$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$$h = EM = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$$ см

Открыть изображение ↗

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, в котором одна сторона равна $$2R$$, а другая сторона равна $$h$$, тогда

$$S = 2Rh$$

$$S_{бок.пов.} = 2πRh = (2Rh) · π = Sπ$$

$$S = \frac{S_{бок.пов.}}{π} = \frac{37π}{π} = 37$$ см²

Открыть изображение ↗

Катет прямоугольного равнобедренного треугольника вычислим по теореме Пифагора:

$$a² + a² = (8\sqrt{2})²$$

$$2a² = 2 ⋅ 8²$$

$$a = 8$$ см

Радиус основания конуса и высота конуса равны катету прямоугольного треугольника:

$$R = H = 8$$ см

$$H = 8$$ см

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} ⋅ πR² ⋅ H$$

$$V = \frac{1}{3} ⋅ 3 ⋅ 8² ⋅ 8 = 512$$ см³