Подробный разбор
Практика. Многогранники
Условие и решение преподавателя — в одном материале.
Мы не рекомендуем использовать искусственный интеллект при выполнении домашнего задания, так как применение ИИ-помощников в учёбе снижает ваши когнитивные способности (Ум на аутсорсе: правда ли, что ChatGPT отнимает способность думать?).
Решение должно быть полным, с пояснениями, которые опираются на уже изученные факты, формулы, определения, аксиомы, теоремы и следствия из них.
В решении всех заданий необходимо выполнить рисунок.
Частые ошибки в домашних заданиях по геометрии
Задание 1 (13 баллов).
Диагональ и высота правильной четырёхугольной призмы равны 6 м и 4 м соответственно. Найдите площадь основания призмы.
Задание 2.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. AB = 24 см, BC = 20 см, AA1 = 22 см.
а) Найдите объём данной призмы (10 баллов).
б) Постройте сечение, проходящее через ребро AA1 и середину ребра BC. Укажите название фигуры, являющейся сечением (12 баллов).
в) Найдите площадь сечения, построенного в пункте б (12 баллов).
Рис. 1
Задание 3 (18 баллов).
В основании наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Отрезок A1O является высотой призмы. Найдите длину бокового ребра этой призмы, если AB = 8 см, BC = 6 см, A1O = 
Задание 4.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро равно 15 см. Найдите:
а) длину высоты пирамиды (13 баллов);
б) длину апофемы пирамиды (12 баллов);
в) площадь боковой поверхности пирамиды (10 баллов).
Список использованных источников:
Рис. 1. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)
Задание 1.
Диагональ и высота правильной четырёхугольной призмы равны 6 м и 4 м соответственно. Найдите площадь основания призмы.
Пример решения:
Рис. 1
Треугольник AA₁C — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
ABCD — квадрат.
Ответ: 10 м².
Примечание:
Правильная четырёхугольная призма — это прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании.
Сторону основания квадрата, при известной диагонали, можно вычислить, используя теорему Пифагора.
Рис. 2
Задание 2.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. AB = 24 см, BC = 20 см, AA1 = 22 см.
а) Найдите объём данной призмы.
б) Постройте сечение, проходящее через ребро AA1 и середину ребра BC. Укажите название фигуры, являющейся сечением.
в) Найдите площадь сечения, построенного в пункте б.
Рис. 3
Пример решения:
а) V = Sосн · h = 
V =
б)
Рис. 4
Пусть точка D — середина ребра BC. Точки A и D лежат в одной грани ABC, проводим отрезок AD.
В плоскости верхней грани A₁B₁C₁ построим отрезок A₁D₁ параллельно AD.
AA₁D₁D — искомое сечение.
AD = A₁D₁ (соответствующие элементы в равных треугольниках), AD ∥ A₁D₁ (по построению), A₁A ⊥ AD (призма — прямая).
Значит, AA₁D₁D — прямоугольник.
в) Треугольник ABD — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
AD=
BD =
SAA₁D₁D = AA₁ · AD = 22 · 26 = 572 см².
Ответ: а) 5280 см³; б) прямоугольник; в) 572 см².
Примечание:
Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям.
Если две точки сечения лежат на одной грани — проводим через них отрезок и получаем линию сечения всей грани.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани многогранника по параллельным прямым.
Задание 3.
В основании наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Отрезок A1O является высотой призмы. Найдите длину бокового ребра этой призмы, если AB = 8 см, BC = 6 см, A1O =
Пример решения:
Рис. 5
Из теоремы Пифагора в треугольнике ABC:
CO = OA = 
Треугольник AOA₁ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
Ответ: 7 см.
Примечание:
Боковые рёбра наклонной призмы равны.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Задание 4.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро равно 15 см. Найдите:
а) длину высоты пирамиды;
б) длину апофемы пирамиды;
в) площадь боковой поверхности пирамиды.
Пример решения:
Рис. 6
а) ABCD — квадрат.
Треугольник ASH — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
б) Треугольник SHK — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
Ответ:
Примечание:
В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник. В этом случае правильный четырёхугольник — квадрат.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
В правильной пирамиде боковые рёбра равны, высота падает в центр основания.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.
Боковые грани правильной пирамиды — равные треугольники.
Список использованных источников:
Рис. 1–6. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)