Пусть осевым сечением конуса является треугольник ABC. Высота конуса $BD$ совпадает с высотой этого треугольника и также является медианой треугольника.

$AD = \Large\frac{1}{2}$ $AC=16$

Найдём BD c помощью теоремы Пифагора:

$H=BD=\sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$ ед. изм.

Открыть изображение ↗

Пусть $O$ — центр сферы, $A$ — центр сечения, тогда $OA=24$ см, $OA=25$ см, $△ABO$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7$ см.

Открыть изображение ↗

$S_{осн}=πR²$

$πR²=256π$

$R=16$ см

Так как осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, то образующая конуса равна диаметру основания: $l=2R=32$ см.

$S_{бок}=πRl= π\cdot16\cdot32=512$ см²

$V_{ш. сег.}=πh^2 (R- \Large\frac{1}{3}$ $h)$

Пусть $O$ — центр шара, $O_1$ — центр сечения, $OF$ — радиус шара тогда $OF=15$ см, $O_1$ $F=18$ ∶ $2=9$ см, $△FO_1 O$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$OO_1=\sqrt{OF^2-O_1 F^2}= \sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$ см

$h=O_1 E=OE-OO_1=15-12=3$ см

$V_{ш. сег.}=π·3^2 (15- \Large\frac{1}{3}$·3 $)=126π$ $см^3$

Открыть изображение ↗

Объём усечённого конуса с высотой $h$ и радиусами оснований $r$ и $R$ можно вычислить по формуле:

$V=\Large\frac{1}{3}$ $πh(R^2+Rr+r^2)$

$πr^2=81π$

$r=9$ см

$πR^2=144π$

$R=12$ см

$h=\Large\frac{3V}{π(R^2 + Rr + r^2)}$ $=\Large\frac{3 · 1554π}{π(12^2 + 12 · 9 + 9^2)}$ $=14$ см

Сечение представляет собой прямоугольник $ABCD$, в котором сторона $AD$ равна высоте цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно длине перпендикуляра $OH$.

Найдём сторону $AB$.

$AB=\Large\frac{176}{8}$ $=22$

Меньшая дуга $AB$ равна 60°. Угол $AOB$ центральный, поэтому $∠AOB=◡AB=60°$.

Треугольник $ABO$ равнобедренный с углом, равным 60°, значит, этот треугольник равносторонний. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h=\Large\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$OH=\Large\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{22\sqrt{3}}{2}$ $=11\sqrt{3}$

Открыть изображение ↗

Сечение представляет собой прямоугольник, в котором сторона $AB$ равна высоте цилиндра. $OH$ — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, $OA$ — радиус цилиндра.

Найдём $AH$ c помощью теоремы Пифагора:

$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{17^2-8^2 }=\sqrt{225}=15$.

$△AOD$ равнобедренный, поэтому высота $OH$ является и медианой, значит, $AD=2AH=30$.

Найдём площадь сечения:

$S=AD$ · $AB=30$ · $15=450$.

Открыть изображение ↗