Задание 1.

Прямая b параллельна стороне KN прямоугольника KLMN и не лежит в плоскости прямоугольника.

а) Докажите, что b || LM.

б) Докажите, что прямые b и KM скрещивающиеся.

в) Найдите синус угла между прямыми b и KM, если LM = 24 см, LK = 32 см.

Пример решения:

Рис. 1.

а) b ∥ KN по условию, LM ∥ KN как противоположные стороны прямоугольника. Значит, b ∥ LM.

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим плоскость, проходящую через параллельные прямые b и KN, буквой α;

KM ⊄ α; KM ∩ KN = K, K ∉ b.

По признаку скрещивающихся прямых прямые b и KM скрещивающиеся.

Что и требовалось доказать.

в) ∠(b; KM) = ∠(KN; KM) = ∠NKM

∠KNM = 90°, △NKM – прямоугольный, по теореме Пифагора:

KM² = KN² + NM²

KN = LM = 24 см, NM = LK = 32 см

Ответ: в) 0,8.

Примечание:

Если прямая параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и второй прямой.

Признак скрещивающихся прямых: если прямая AB принадлежит плоскости α, а прямая CD пересекает плоскость α в точке M, не принадлежащей AB, то прямые AB и CD скрещивающиеся.

Для того, чтобы найти угол между прямыми, нужно их построить проходящими через одну точку и найти меньший из образовавшихся углов.

 

Задание 2.

KPTRK₁P₁T₁R₁ — прямоугольный параллелепипед. Точка A — середина ребра KK₁.

а) Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки A, T, R₁. Объясните ход построения каждого из отрезков.

б) Укажите вид многоугольника, полученного в сечении, и заштрихуйте его внутреннюю часть.

Рис. 2

Пример решения:

а) Точки T и R₁ лежат в плоскости одной грани RTT₁R₁ – отрезок TR₁.

Точки A и R₁ лежат в плоскости одной грани KRR₁K₁ – отрезок AR₁.

Плоскости KPP₁ и RTT₁ параллельны, построим AB ∥ R₁T.

B и T лежат в плоскости грани KRTP – отрезок BT.

ABTR₁ – искомое сечение.

Рис. 3

б) AB ∥ TR₁ (по построению), AR₁ ∦ BT, значит, ABTR₁ – трапеция.

Примечание:

Чтобы построить сечение, нужно изобразить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то она оставляет на них параллельные следы.

Также при построении можно было продлить прямую AR₁ до пересечения с прямой KR (они лежат в одной плоскости) и таким образом получить вторую точку для построения следа сечения в плоскости KRT.

 

Задание 3.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике MNK MK — основание. PN — перпендикуляр к плоскости MNK.

а) Изобразите линейный угол двугранного угла PMKN. Поясните, почему именно этот угол является линейным углом двугранного угла.

б) Найдите длину отрезка PN, если MN = KN = 20 см, MK = 32 см, величина двугранного угла PMKN составляет 30°.

Рис. 4

Пример решения:

а) Построим NH ⊥ MK.

PN – перпендикуляр к плоскости MNK, PH – наклонная, NH – проекция наклонной.

По теореме о трёх перпендикулярах PH ⊥ MK.

NH ⊥ MK, PH ⊥ MK, значит, ∠NHP – линейный угол двугранного угла PMKN.

б) Рассмотрим треугольник MNH. Он прямоугольный (∠NHM = 90°); MN = 20 см; MH = 16 см (NH является высотой равнобедренного треугольника, а значит, медианой и биссектрисой).

По теореме Пифагора: MN² = MH² + NH².

Треугольник PNH – прямоугольный, ∠NHP = 30°, NH = 12 см.

Ответ: б) см.

Примечание:

Для доказательства того, что наклонная перпендикулярна проекции наклонной, применяют теорему о трёх перпендикулярах: прямая, которая проведена к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, будет перпендикулярна и к самой наклонной.

---

Список использованных источников:

Рис. 1-4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)