Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

$BD$ — меньшая диагональ, так как меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла

($∠B,∠D=180°-60°=120°$ — тупые, а значит, больше $60°$).

По определению ромба:

$AB=BC=CD=AD$

$P=AB+BC+CD+AD=4AB$

$4AB=52{,}4$

$AB={\Large\frac{52{,}4}{4}}=13{,}1$ см

Поскольку $AB=AD, ∆ABD$ — равнобедренный (по определению).

$\begin{rcases} ∠A=60° \\ AB=AD \end{rcases}⇒∠ABC=∠ADC=(180°-60°) ∶2=60°$

$∠BAD=∠ABC=∠ADC=60°⇒∆ABC$ — равносторонний, значит:

$BD=AB=AD=13{,}1$ см

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть $AB=CD=3x$, тогда $AD=BC=5x$ (по свойству сторон параллелограмма).

$P=AB+BC+CD+AD=3x+5x+3x+5x=16x$

$16x=32$

$x={\Large\frac{32}{16}}$

$x=2$

$AB=3 \cdot 2=6$ см — длина меньшей стороны

$BC=5 \cdot 2=10$ см — длина большей стороны

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

$AC$ — диагональ параллелограмма, поэтому она делит его на два равных треугольника. Значит:

$S_{ADC}={\Large\frac{1}{2}} S_{ABCD}={\Large\frac{1}{2}} \cdot 140=70$

Поскольку $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма, $AM$ — медиана $∆ADC$.

По свойству медианы треугольника:

$S_{ADM}=S_{ACM}⇒S_{ADM}={\Large\frac{1}{2}} S_{ADC}={\Large\frac{1}{2}} \cdot 70=35$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть в ромбе $ABCD$ $∠DBC=53°$. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то:

$∠ABC=2 \cdot ∠DBC=2 \cdot 53°=106°$

Поскольку сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то:

$∠BAD=180°-∠ABC=180°-106°=74°$ — острый угол ромба

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ $AM$ и $DM$ — биссектрисы углов $A$ и $D$. Значит, $∠MAD=∠MAB$ и $∠MDA=∠MDC$.

$∠MAD=∠AMB$ как внутренние при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$. Тогда $∠MAB=∠AMB$. Значит, по признаку равнобедренного треугольника $∆ABM$ равнобедренный с основанием $AM$. Следовательно: $AB=BM=13$

Аналогично доказывается, что $MC=CD=13$.

$BC=BM+MC=13+13=26$ — бóльшая сторона

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ $DM$ — биссектриса угла $D$.

Пусть $CM=x$, тогда $MB=4x$.

Биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник $MCD$.

$CD=MC=x$

$AD=BC=BM+MC=4x+x=5x$

По свойству параллелограмма:

$AB=CD=x$

$P=AB+BC+CD+AD=x+5x+x+5x=12x$

$12x=60$

$x=5$

$AD=5 \cdot 5=25$ — бóльшая сторона

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть в ромбе $ABCD$ $∠BAD=60°$, а диагонали пересекаются в точке $O$.

$∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°$

В ромбе бóльшая диагональ лежит напротив большего угла, поэтому нужно найти длину $AC$.

По свойству диагоналей ромба:

$∠CAD={\Large\frac{1}{2}} \cdot ∠BAD={\Large\frac{1}{2}} \cdot 60°=30°$

$∠BDA={\Large\frac{1}{2}} \cdot ∠ADC={\Large\frac{1}{2}} \cdot 120°=60°$

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, треугольник $AOD$ — прямоугольный.

$sin⁡~∠ODA={\Large\frac{AO}{AD}}⇒AO=AD \cdot sin~⁡60°=8\sqrt 3 \cdot {\Large\frac{\sqrt 3}{2}}=12$

$AC=2AO=2 \cdot 12=24$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O, AH$ — перпендикуляр к диагонали $BD$. Нужно вычислить градусную меру одного из углов, образованных при пересечении диагоналей.

Тогда $∠HAD∶∠BAH=7∶2$.

Обозначим:

$∠HAD=7x,∠BAH=2x$

$∠HAD+∠BAH=∠BAD$

$7x+2x=90$

$x=10$

$∠HAD=7x=70°$

Найдём острый угол $ADH$ в прямоугольном треугольнике $AHD:$

$∠ADH=90°-∠HAD=90°-70°=20°$

По свойству диагоналей прямоугольника:

$OB=OC=OA=OD$, значит, $∆AOD$ — равнобедренный.

Углы при основании равны: $∠OAD=∠ODA=20°$.

Найдём угол $AOB$ как внешний угол треугольника $AOD$ при вершине $O$:

$∠AOB=∠OAD+∠ODA=20°+20°=40°$ Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.