Объём куба со ребром a можно найти по формуле $V=a^3$, а площадь поверхности — по формуле $S=6a^2$.

Зная площадь поверхности, можем найти ребро куба:

$6a^2=216$

$a^2=36$

$a=6$

$V=6^3=216$

У куба $12$ рёбер. Найдём длину одного ребра:

$180∶12=15$ см

$V=15^3=3375$ см$^3$

$V=abc$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

$S=2(ab+ac+bc)$

Воспользуемся этой формулой, чтобы найти $c$.

$2(8·5+8c+5c)=236$

$40+13с=118$

$c=6$

$V=8·5·6=240$

Пусть $AC=5$ см, $BC=12$ см. Из теоремы Пифагора в треугольнике $ABC$:

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ см.

$ABLK$ — большая боковая грань.

$S_{ABLK}=AB·AK$

$AK={\Large\frac{S_{ABLK}}{AB}}={\Large\frac{65}{13}}=5$ см

С помощью теоремы Пифагора найдём длину диагонали основания параллелепипеда:

$d=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=25$ см

Площадь диагонального сечения равна $dc$.

$dc=75$

$25c=75$

$c=3$

$V=7·24·3=504$ см$^3$

Открыть изображение ↗ Рис. 6. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a,b,c$ можно найти по формуле:

$V=abc$

$c={\Large\frac{V}{ab}}={\Large\frac{528}{11·6}}=8$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

$S=2(ab+ac+bc)$

$S=2(11·6+11·8+6·8)=404$

Так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

$AD⊥AB_1$, тогда $DB_1$ — наклонная к плоскости боковой грани, $AB_1$ — её проекция, поэтому $∠AB_1 D$ — угол между диагональю призмы и боковой гранью.

Рассмотрим треугольник $ADB_1$. Катет $A$D лежит напротив угла, равного $30°$, значит,

$AD={\Large\frac{1}{2}} DB_1=8$ см.

$S_{осн}=AD^2=8^2=64$ см$^2$

Открыть изображение ↗ Рис. 7. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)