Открыть изображение ↗

Вписанный угол $$BAC$$ и центральный угол $$BOC$$ опираются на одну дугу, поэтому

$$∠BOC=2∠BAC=2\cdot81=162°$$

Ответ: $$162°$$.

Треугольник $$ABC$$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$$AB=\sqrt{45^{2}+28^{2}}=\sqrt{2025+784}=\sqrt{2809}=53$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot45\cdot28=630$$

$$p=\frac{45~+~28~+~53}{2}=63$$

$$r=\frac{630}{63}=10$$

Ответ: 10.

$$∠ABC=∠ABD+∠DBC$$

$$∠DAC=∠DBC$$ — как вписанные, опирающиеся на одну дугу.

$$∠ABC=52°+48°=100°$$

Ответ: $$100°$$.

$$∠DAC=∠DBC$$ — как вписанные, опирающиеся на одну дугу.

$$∠ABC=∠ABD+∠DBC=42°+64°=106°$$

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, значит:

$$∠ABC+∠ADC=180°$$

$$∠ADC=180°-∠ABC=180°-106°=74°$$.

Ответ: $$74°$$.

$$∠COD=∠AOB=124°$$ — вертикальные углы.

Треугольник $$AOB$$ — равнобедренный ($$OA=OB$$ как радиусы).

$$∠OAB=∠OBA=(180°-124°):2=56°:2=28°$$

Ответ: $$28°$$.

$$AC=2R=2\cdot13=26$$

Вписанный угол $$ABC$$ опирается на диаметр, поэтому это прямой угол. Значит, треугольник $$ABC$$ — прямоугольный.

Из теоремы Пифагора:

$$AB=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot10=120$$

Ответ: 120.

Открыть изображение ↗

Угол между хордой и касательной, имеющими общую точку, равен половине дуги, заключённой между ними.

$$AB$$ — касательная к окружности, тогда меньшая дуга $$AC$$ заключена между хордой $$AC$$ и касательной $$AB$$, тогда

$$∠CAB=\frac{1}{2}◡AC=\frac{1}{2}\cdot76=38°$$

Ответ: $$38°$$.

Открыть изображение ↗

Треугольник $$ABD$$ — равнобедренный ($$BA=BD$$ как радиусы)

$$∠BAD=∠BDA=35°$$

$$∠BDC=∠ADC-∠ADB=105°-35°=70°$$

Ответ: $$70°$$.