Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой $h$ и радиусом основания $R$ можно найти по формуле $S_{бок.}= 2πRh$

$R={\Large\frac{S_{бок.}}{2πh}}={\Large\frac{48π}{2π \cdot 3}}=8$

Диаметр в $2$ раза больше радиуса: $2 \cdot 8=16$.

Площадь поверхности сферы с радиусом R можно найти по формуле $S= 4πR^2$.

1. $S= 4π \cdot 11^2=484π$ см$^2$

2. $R^2={\Large\frac{S}{4π}}={\Large\frac{2704π}{4π}}=676$

$R=26$ см

Диаметр в $2$ раза больше радиуса: $2·26=52$ см.

Воспользуемся формулой объёма цилиндра $V=πr^2 h$.

Объём воды в первом сосуде:

$V=270πr^2$

Объём воды во втором сосуде:

$V=π·(3r)^2 h=9πr^2 h$

После переливания объём воды не изменился, поэтому

$9πr^2 h=270πr^2$

$h={\Large\frac{270πr^2}{9πr^2}} =30$ см

$S_{бок}= πrl$

Высота, радиус основания и образующая конуса составляют прямоугольный треугольник.

Найдём образующую c помощью теоремы Пифагора:

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ м

$S_{бок.}= π \cdot 5 \cdot 13=65π$

Открыть изображение ↗ Рис. 3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой $h$ и радиусом основания $R$ можно найти по формуле $S_{бок.}= 2πRh$

Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $2R$ и $h$.

Тогда $S_{сеч.}= 2Rh={\Large\frac{S_{бок}}{π}}={\Large\frac{28π}{π}}=28$ см$^2$

Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Пусть осевым сечением конуса является треугольник $ABC$.

Высота конуса $BD$ совпадает с высотой этого треугольника и также является медианой треугольника.

$AD={\Large\frac{1}{2}} AC=20$

Найдём $BD$ c помощью теоремы Пифагора:

$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{29^2-20^2}=\sqrt{441}=21$ см

Открыть изображение ↗ Рис. 5. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

$S_{бок.}= πrl$

$l={\Large\frac{S_{бок.}}{πr}}={\Large\frac{960π}{π \cdot 24}}=40$

Высота, радиус основания и образующая конуса составляют прямоугольный треугольник.

Найдём высоту c помощью теоремы Пифагора:

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{40^2-24^2}=\sqrt{(40-24)(40+24)}=\sqrt{16 \cdot 64}=4 \cdot 8=32$

Открыть изображение ↗ Рис. 6. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

$S_{полн.}=S_{осн.}+S_{бок.}=πr^2+ πrl$

Вычислим длину радиуса с помощью теоремы синусов:

$2r={\Large\frac{8}{sin\hspace {1mm}150°}}$

$r={\Large\frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}}}=8$ см

$l={\Large\frac{OB}{cos\hspace {1mm}B}}={\Large\frac{8}{cos\hspace {1mm}60°}}={\Large\frac{8}{\frac{1}{2}}}=16$ см

$S_{полн.}= π \cdot 8^2+π \cdot 8 \cdot 16=64π+128 π=192π$ см$^2$

Открыть изображение ↗ Рис. 7. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)