Так как $DE=EC$, то $△DEC$ — равнобедренный $⇒$

$⇒∠ECF=∠EDF={\Large\frac{180°-∠DEC}{2}}={\Large\frac{180°-108°}{2}}=36°$.

Так как △DEC — равнобедренный, то $∠EDC=∠ECD=28°⇒$

$⇒∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD)=180°-(28°+28°)=124°$.

$EF$ — высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, значит, является и биссектрисой.

Следовательно, $∠DEF={\Large\frac{1}{2}} \cdot ∠DEC={\Large\frac{1}{2}} \cdot 124°=62°$

Так как $BH$ — высота $△ABC$, то $△BHC$ — прямоугольный (с прямым углом $H$).

В $△BHC:$

$sin⁡~C={\Large\frac{BH}{BC}}$

$BC={\Large\frac{BH}{sin~⁡C} ={\Large\frac{5{,}4}{0{,}6}}}=9$

Так как $△ABC$ равнобедренный, а $BD$ — его высота, то:

$△ABD=△CBD$ и $AD=DC⇒P_{ABD}=P_{CBD}=50$

$P_{ABD}+P_{CBD}=AB+BD+AD+BC+BD+DC=AB+BC+AC+2BD=P_{ABC}+2BD$

$P_{ABD}+P_{CBD}=P_{ABC}+2BD$. Тогда:

$50+50=80+2BD$

$2BD=20$

$BD=10$

В прямоугольном треугольнике $AHC$ катет $AH$ лежит напротив угла, равного $30°$, значит,

$AH={\Large\frac{1}{2}} AC$, тогда $AC=2AH=10$.

Найдём углы при основании равнобедренного треугольника:

$∠A=∠B={\Large\frac{180°-∠C}{2}}={\Large\frac{180°-120°}{2}}=30°$

Проведём высоту $CH$. Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

В треугольнике $ACH$ катет $CH$ лежит напротив угла, равного $30°$, значит,

$CH={\Large\frac{1}{2}} AC={\Large\frac{15\sqrt 3}{2}}$.

Из теоремы Пифагора:

$AH^2=AC^2-CH^2=(15\sqrt 3)^2-\left({\Large\frac{15\sqrt 3}{2}}\right)^2=15^2 \cdot 3-{\Large\frac{15^2 \cdot 3}{4}}=15^2 \cdot 3 \cdot \left(1-{\Large\frac{1}{4}}\right)=15^2 \cdot 3 \cdot {\Large\frac{3}{4}}={\Large\frac{15^2 \cdot 3^2}{4}}$

$AH=\sqrt{{\Large\frac{15^2 \cdot 3^2}{4}}}={\Large\frac{15 \cdot 3}{2}}={\Large\frac{45}{2}}$

$AB=2AH=45$

Пусть $CH$ — высота, $CD$ — биссектриса.

Так как $∠C=90°$, a $CD$ — биссектриса, то

$∠BCD=∠ACD=45°$.

В $△CDA: ∠CDA=180°-(∠ACD+∠DAC)=180°-(45°+32°)=103°$

По свойству смежных углов:

$∠HDC=180°-∠CDA=180°-103°=77°$

В $△HCD: ∠HCD=180°-(∠CHD+∠HDC)=180°-(90°+77°)=13°$

Пусть $CH$ — высота, $CD$ — медиана.

В $△HCD:∠HDC=180°-(∠HCD+∠CHD)=180°-(16°+90°)=74°$

$DB=DC=DA$ по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

В равнобедренном $△BDC$:

$∠CBD=∠BCD={\Large\frac{180°-∠BDC}{2}}={\Large\frac{180°-74°}{2}}=53°$ — больший угол, так как

$∠BAC=180°-(∠BCA+∠CBA)=180°-(90°+53°)=37°$ — меньший угол.

Так как $BH$ — высота $△ABC$, то $△BHC$ — прямоугольный (с прямым углом $H$)

В $△BHC:$

$tg⁡~C={\Large\frac{BH}{HC}}$

${\Large\frac{BH}{HC}}=0{,}7⇒HC={\Large\frac{BH}{0{,}7}}={\Large\frac{3{,}5}{0{,}7}}=5$