Открыть изображение ↗

Пусть $AM$ — наклонная, $AH$ — перпендикуляр, $MH$ — проекция наклонной. Из теоремы Пифагора в треугольнике $AMH$:

$AH = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ м.

Прямая $AD$ перпендикулярна данной плоскости, значит, и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, поэтому $AD \bot OB$. Значит, $BO$ — высота и медиана в треугольнике $ABD$, тогда этот треугольник равнобедренный с основанием $AD$.

$AO = DO = 24 : 2 = 12$ см;

△ $ABO$ — прямоугольный, из теоремы Пифагора:

$AB = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

$P_{ABD} = 24 + 13 + 13 = 50$ см.

Ответ: △ $ABD$ — равнобедренный; $P_{ABD} = 50$ см.

Так как $PP₁ \bot α$ и $QQ₁ \bot α$, то $PP₁ \parallel QQ₁$, тогда прямые $PQ$ и $P₁Q₁$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, $PQ \parallel P₁Q₁$.

Тогда $PP₁Q₁Q$ — параллелограмм, в котором равны смежные стороны ($PQ = PP₁$), а углы прямые. Значит, $PP₁Q₁Q$ — квадрат.

Найдём его периметр:

$4 ⋅ PQ = 4 ⋅ 17 = 68$ см.

Открыть изображение ↗

$AB = 13$ см.

По теореме о трёх перпендикулярах $AC$ перпендикулярно ребру (наклонная $AB$ перпендикулярна ребру, $BC$ — перпендикуляр).

Значит, угол $BAC$ — линейный угол двугранного угла, а значит, он равен $30°$.

$sin \angle BAC = \Large\frac{BC}{AB}$,

$BC = AB ⋅ sin⁡∠BAC = 13 ⋅ {\Large\frac{1}{2}} = 6,5$ см.

Ответ: $6,5$ см.

Открыть изображение ↗

$CB$ — перпендикуляр, $CM$ — наклонная, $BM$ — проекция наклонной.

По теореме о трёх перпендикулярах: $EM \bot BM$, значит, $EM \bot CM$. То есть длина отрезка $CM$ — расстояние от точки $C$ до стороны $ME$.

Найдём $BM$ из теоремы Пифагора:

$BM = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Треугольник $CBM$ — прямоугольный, из теоремы Пифагора:

$CM = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла.

а) Если $ABCD$ — квадрат, то $AB⊥AD$, и по теореме о трёх перпендикулярах $KA⊥AD$.

Линейным углом будет угол $KAB$ (рисунок 4).

б) Если $ABCD$ — параллелограмм (не прямоугольник), то линейный угол изображён на рисунке 2.

Рисунок 1. На нём $KD$ не является перпендикуляром к ребру $AD$, а $BD$ не является перпендикуляром к ребру $AD$.

Рисунок 3. Изображён угол не между плоскостями $AKD$ и $ABC$.

1. Плоскости основания ($ABC$) перпендикулярна прямая $CC₁$, являющаяся боковым ребром.

2. Плоскости, являющейся диагональным сечением куба, ($ACC₁$) перпендикулярна прямая $B₁D₁$. $B₁D₁ \bot A₁C₁$ (диагонали квадрата), $B₁D₁ \bot A₁A$, $A₁C₁ ∩ A₁A = A₁$. Прямая $B₁D₁$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, значит, она перпендикулярна и самой плоскости.

3. Плоскости, являющейся диагональным сечением куба, ($DBB₁$) перпендикулярна прямая $A₁C₁$. $B₁D₁ \bot A₁C₁$ (диагонали квадрата), $A₁C₁ \bot B₁B$, $B₁D₁ ∩ B₁B=B₁$. Прямая $A₁C₁$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, значит, она перпендикулярна и самой плоскости.

Если в треугольнике две стороны равны, то такой треугольник равнобедренный.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в некой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.