Подробный разбор
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Условие и решение преподавателя — в одном материале.
Решение должно быть полным, с пояснениями, которые опираются на уже изученные факты, формулы, определения, аксиомы, теоремы и следствия из них.
Во всех заданиях необходимо выполнить рисунки.
Задание 1.
Стороны MN и MP треугольника MNP пересекают плоскость α в точках A и B соответственно, при этом AB
а) Докажите, что прямая NP параллельна плоскости α (16 баллов).
б) Найдите длину отрезка AB, если длина отрезка NP равна 24, а точка A делит сторону MN в отношении 1 : 3 начиная от вершины N. (18 балла).
Задание 2
Дан куб KLMNPRST.
а) Установите взаимное расположение прямых NP и MT (18 баллов).
б) Найдите угол между прямыми MS и LP (18 баллов).
Задание 3 (30 баллов).
Середины рёбер KN, NM, SR, RP куба KLMNPRST последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.
Задание 1.
Стороны MN и MP треугольника MNP пересекают плоскость α в точках A и B соответственно, при этом AB ∥ NP.
а) Докажите, что прямая NP параллельна плоскости α.
б) Найдите длину отрезка AB, если длина отрезка NP равна 24, а точка A делит сторону MN в отношении 1 : 3 начиная от вершины N.
Пример решения:
Рис. 1
а) 
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим △MNP и △MAB
∠M — общий;
∠PNM = ∠BAM — соответственные при параллельных NP и AB секущей NM, а значит, △MNP ∼ △MAB по двум углам.
В подобных треугольниках выполняется отношение сторон:
Ответ: б) 18.
Примечание:
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости. Для доказательства параллельности прямой плоскости достаточно найти такую прямую, которая лежит в данной плоскости и которая будет параллельна этой прямой.
При делении отрезка в отношении 1 : 3 некоторой точкой обратите внимание, что весь отрезок состоит из 4 частей.
Задание 2.
Дан куб KLMNPRST.
а) Установите взаимное расположение прямых NP и MT.
б) Найдите угол между прямыми MS и LP.
Пример решения:
Рис. 2
а) PN ⊂ PTN, TM ∩ PTN = T, T ∉ PN
Значит, прямые PN и TM скрещиваются.
б) PL ∥ TM, TM ∩ MS = M
∠(MS;LP) = ∠(MS;TM) = ∠SMT
NTSM — квадрат, TM — диагональ квадрата, значит, является биссектрисой угла SMN, тогда ∠SMT = 45°.
Ответ: а) скрещивающиеся прямые; б) 45°.
Примечание:
В пункте а) мы воспользовались признаком скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются.
В пункте б) можно было рассмотреть аналогичным образом угол между прямыми PL и RL.
Задание 3.
Середины рёбер KN, NM, SR, RP куба KLMNPRST последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.
Пример решения:
Введём обозначения, как показано на рисунке.
Рис. 3
Рассмотрим треугольник PRS. Точки D и C являются серединами сторон PR и RS соответственно, значит, DC — средняя линия треугольника PRS, тогда
Аналогично в треугольнике KMN AB — средняя линия, AB ∥ KM.
PS ∥ KM, PS = KM как диагонали противоположных граней куба.
А значит, DC ∥ AB и DC = AB.
Так как DC ∥ AB, через них проходит единственная плоскость. Все вершины четырёхугольника лежат в одной плоскости. Четырёхугольник ABCD — плоский.
Так как DC ∥ AB и DC = AB, то ABCD — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Примечание:
Чтобы доказать, что фигура является плоской, нужно доказать, что все её вершины лежат в одной плоскости. Нам известно, что через две параллельные прямые проходит плоскость, и при этом единственная; через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при этом единственная. В нашей задаче мы пользовались первым утверждением.
Список использованных источников:
Рис. 1–3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)