В основании пирамиды лежит правильный 9-угольник. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Боковая поверхность пирамиды состоит из девяти равных равнобедренных треугольников, найдём площадь каждого такого треугольника:

$S_△=441∶9=49$ см$^2$

Апофема пирамиды — высота боковой грани. Пусть a — сторона основания пирамиды, l — апофема, тогда

$S_△={\Large\frac{1}{2}} al$,

$l={\Large\frac{2S_△}{a}}={\Large\frac{2 \cdot 49}{14}}=7$ см.

В правильном тетраэдре все грани — равные равносторонние треугольники.

$S_{пов.}=4S_△=4 \cdot {\Large\frac{a^2 \sqrt3}{4}}=a^2 \sqrt3$

$S_{пов.}=(4\sqrt3)^2 \cdot \sqrt3=16 \cdot 3\sqrt3=48\sqrt3$ м$^2$

В основании пирамиды лежит квадрат. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

$V={\Large\frac{1}{3}} S_{осн.} h$

$h={\Large\frac{3 \cdot S_{осн.}}{h}}={\Large\frac{3 \cdot 192}{72}}=8$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Лайтарук Е. Б.

$S_{осн.}=a^2$

$a=\sqrt{72}=6\sqrt2$

Диагональ квадрата:

$AC=6\sqrt2 \cdot \sqrt2=12$

$AO={\Large\frac{1}{2}} AC=6$

Длину бокового ребра найдём из теоремы Пифагора:

$AF=\sqrt{FO^2 + AO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Лайтарук Е. Б.

$V={\Large\frac{1}{3}} S_{осн} h$

В основании пирамиды лежит квадрат. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

$S_{осн.}=6^2=36$

$AC=6 \cdot \sqrt2=6\sqrt2$

$OC={\Large\frac{1}{2}} AC=3\sqrt2$

Треугольник COE — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$EO=\sqrt{(\sqrt{34})^2-(3\sqrt2)^2}=\sqrt{34-18}=\sqrt{16}=4$

$V={\Large\frac{1}{3}} \cdot 36 \cdot 4=48$

В основании лежит равносторонний треугольник.

$BK={\Large\frac{AC\sqrt3}{2}}$

$BK={\Large\frac{24\sqrt3}{2}}=12\sqrt3$

В равностороннем треугольнике высота является медианой. По свойству медиан треугольника:

$BN={\Large\frac{2}{3}} BK=8\sqrt3$

Треугольник $DBN$ — прямоугольный.

$tg⁡∠DBN={\Large\frac{DN}{BN}}$

$DN=BN ~tg⁡∠DBN=8\sqrt3 ~tg⁡~30°=8\sqrt3 \cdot {\Large\frac{\sqrt3}{3}}=8$

$S_{бок.}=S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCD}+S_{SAD}$

$△SAB=△SCB$ по двум катетам ($AB=BC, SB$ — общая сторона).

$S_{SAB}=S_{SBC}={\Large\frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot12=54$ см$^2$

По теореме о трёх перпендикулярах $SA⊥AD$ ($SB$ — перпендикуляр, $AB$ — проекция наклонной, $SA$ — наклонная, $AB⊥AD$).

По теореме о трёх перпендикулярах $SC⊥CD$ ($SB$ — перпендикуляр, $CB$ — проекция наклонной, $SC$ — наклонная, $CB⊥CD$).

$△SAD=△SCD$ по двум катетам (они прямоугольные и $AD=DC, SA=SC$ — гипотенузы в равных треугольниках $△SAB=△SCB$).

$SA=\sqrt{AB^2+SB^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ см

$S_{SCD}=S_{SAD}={\Large\frac{1}{2}} \cdot 15 \cdot 9=67,5$ см$^2$

$S_{бок}=2 \cdot 54+2 \cdot 67,5=108+135=243$ см$^2$

Треугольник $AKC$ — прямоугольный.

Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны между собой.

$△AKC=△ADC$ по гипотенузе и острому углу (в равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по 45°).

$AK=KC=AD=DC=6$ см

$S={\Large\frac{1}{2}} \cdot 6 \cdot 6=18$ см$^2$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Лайтарук Е. Б.

$S_{ABCD}=20^2 \cdot sin⁡~30°= 200$ см$^2$

$S_{CDO}={\Large\frac{1}{4}} S_{ABCD}={\Large\frac{1}{4}}·200=50$ см$^2$

$S_{CDO}={\Large\frac{1}{2}} CD \cdot OH$

$OH={\Large\frac{2S_{CDO}}{CD}}={\Large\frac{2 \cdot 50}{20}}=5$ см

Треугольник $SOH$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{12^2+5^2 }=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ см

$S_{бок}=4S_{SCD}=4 \cdot {\Large\frac{1}{2}}\cdot 13\cdot 20=520$ см$^2$

В основании пирамиды лежит квадрат. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Открыть изображение ↗

Иллюстратор Лайтарук Е. Б.

$V={\Large\frac{1}{3}} S_{осн.} h$

$AC=6\sqrt2 \cdot \sqrt2=12$

$HC={\Large\frac{1}{2}} AC=6$

Треугольник $SHC$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$h=SH=\sqrt{(6√2)^2-6^2}=\sqrt{36 \cdot2-36}=\sqrt{36}=6$

$V={\Large\frac{1}{3}} \cdot (6\sqrt2)^2 \cdot 6=36 \cdot 2 \cdot2=144$