Угол между $AF$ и $EE_1$ — угол между $AF$ и $AC$ — угол $FAC$.

Пусть $CF=a$, тогда $AC={\Large\frac{3}{4}} a$.

Треугольник $ACF$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$AF^2=CF^2+CA^2$

$AF=\sqrt{a^2+\frac{9}{16} a^2}=\sqrt{\frac{25}{16} a^2}=\frac{5}{4} a$

$cos~⁡∠CAF={\Large\frac{AC}{AF}}={\Large\frac{3}{4}} a : {\Large\frac{5}{4}} a={\Large\frac{3~\cdot~4}{4~\cdot~5}}=0{,}6$ Открыть изображение ↗ Рис. 1. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

Открыть изображение ↗ Рис. 3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

$OK⊥CD$

По теореме о трёх перпендикулярах $PK⊥CD$.

$PK=14$ см

Треугольник $POK$— прямоугольный. По теореме Пифагора:

$PK^2=PO^2+KO^2$

$KO=\sqrt{14^2-8^2}=\sqrt{132}$ см

$AD=2KO=2\sqrt{132}$ см

$S=(2\sqrt{132})^2=4 \cdot 132=528$ см$^2$

Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

По свойству параллельных плоскостей $AB∥MN$. Треугольники $APB$ и $MPN$ подобны по двум углам $(∠P$ — общий, $∠PAB=∠PMN$ как соответственные при $AB∥MN$ и секущей $PM)$.

${\Large\frac{AB}{MN}}={\Large\frac{PA}{PM}}={\Large\frac{PB}{PN}}={\Large\frac{1}{4}}$

${\Large\frac{13}{MN}}={\Large\frac{1}{4}}$

$MN=52$ см

${\Large\frac{PA}{PA+27}}={\Large\frac{1}{4}}$

$4PA=PA+27$

$3PA=27$

$PA=9$ см

Формула площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок}=2πRh$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра. Открыть изображение ↗ Рис. 6. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

$2R=28$ м

$h=\sqrt{35^2-28^2}=\sqrt{(35-28)(35+28)}=\sqrt{7 \cdot63}=7 \cdot3=21$ м — длина ангара.

Найдём площадь крыши ангара:

$S={\Large\frac{1}{2}} \cdot 2πRh=πRh=3{,}14 \cdot 14 \cdot21=923{,}16$ м$^2$

$S_{сеч.}=πr^2=144π$

$r=12$ см

Вычислим радиус шара через прямоугольный треугольник, в котором катеты — радиус сечения и расстояние от центра шара до плоскости сечения.

$R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ см

$V={\Large\frac{4}{3}} πR^3={\Large\frac{4}{3}} \cdot 3{,}14 \cdot 15^3=14130$ см$^3$

Открыть изображение ↗ Рис. 7. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

Открыть изображение ↗ Рис. 8. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

Треугольник $MHK$ — прямоугольный, в котором $∠MKH=30°$. Тогда

$MK=2MH=2 \cdot 18=36$ см.

$MK$ является апофемой, $MK⊥FE$.

$S_{бок}=6S_{MEF}=6 \cdot {\Large\frac{1}{2}} \cdot MK \cdot FE=3 \cdot 36 \cdot36=3888$ см$^2$