$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot c o s~ \alpha = 1 0 \cdot 1 5 \cdot c o s ~1 2 0 ° = 1 5 0 \cdot ( − 0{,}5 ) = − 75$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b + z_z\cdot z_b =2\cdot3+(−3)\cdot(−4)+(−2)\cdot5= 6 + 12 − 10 = 8$

$Если \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}, то \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 0$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_a\cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b = 0$

$1)~ 4\cdot(−3)+4\cdot𝑚+(−7)\cdot8=0$

$−12 + 4𝑚 − 56 = 0$

$4𝑚 = 68$

$𝑚 = 17$

$2) ~𝑛\cdot 𝑛+(−8)\cdot 𝑛+(−2)\cdot(−8)=0$

$𝑛^2 −8𝑛+16=0$

$(𝑛−4)^2 =0$

$𝑛−4=0$

$𝑛=4$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot cos⁡~\alpha⇒cos⁡~\alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|~\cdot~|\overrightarrow{b}|}$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b=0\cdot 6+(-2)\cdot 8+0\cdot 0=0-16+0=-16$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}=\sqrt{0+(-2)^2+0}=2$

$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2 }=\sqrt{6^2+8^2+0}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

$cos⁡ \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|~\cdot~|\overrightarrow{b}|}=-\frac{16}{2~\cdot~10} = -0{,}8$

$1.~ (\widehat{\overrightarrow{𝐸𝐹},\overrightarrow{𝐷𝐶}}) = 0°$, так как $\overrightarrow{𝐸𝐹} ↑↑ \overrightarrow{𝐷𝐶}$.

$2.~(\widehat{\overrightarrow{𝐴𝐹}, \overrightarrow{𝐺𝐷}}) = 180°$, так как $\overrightarrow{𝐴𝐹} ↑↓ \overrightarrow{𝐺𝐷}.$

$3.~ (\widehat{\overrightarrow{𝐹𝐶}, \overrightarrow{𝐹𝐵}}) = ∠𝐵𝐹𝐶 = 45°$ как угол между стороной квадрата $𝐵𝐹𝐺𝐶$ и его диагональю $𝐹𝐶$.

$4.$ Для определения угла между двумя векторами нужно отложить эти векторы так, чтобы их начала совпали. Открыть изображение ↗

Пусть $\overrightarrow{𝐺𝐾} = \overrightarrow{𝐹𝐺}$. Тогда $(\widehat{\overrightarrow{𝐹𝐺}, \overrightarrow{𝐺𝐸}}) = (\widehat{\overrightarrow{𝐺𝐾}, \overrightarrow{𝐺𝐸}}) = ∠𝐾𝐺𝐸.$

$∠𝐹𝐺𝐸 = 45°$ как угол между стороной квадрата $𝐸𝐹𝐺𝐻$ и его диагональю $𝐸𝐺$.

По свойству смежных углов:

$∠𝐹𝐺𝐸 + ∠𝐾𝐺𝐸 = 180° ⇒ ∠𝐾𝐺𝐸 = 180° − ∠𝐹𝐺𝐸$

$∠𝐾𝐺𝐸 = 180° − 45° = 135°$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot cos⁡~\alpha⇒cos⁡~\alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|~\cdot~|\overrightarrow{b}|}$

Определим координаты $\overrightarrow{𝐸𝐺}$ и $\overrightarrow{𝐸𝐷}$ и их длины:

$\overrightarrow{𝐸𝐺}(10 − 6; 2 − 4; −2 − 2) = (4; −2; −4)$

$|\overrightarrow{𝐸𝐺}|=\sqrt{4^2 +(−2)^2 +(−4)^2} =\sqrt{36}=6$

$\overrightarrow{𝐸𝐷}(8 − 6; 8 − 4; 6 − 2) = (2; 4; 4)$

$|\overrightarrow{𝐸𝐷}|=\sqrt{2^2 +4^2 +4^2} =\sqrt{36}=6$

$\overrightarrow{𝐸𝐺} \cdot \overrightarrow{𝐸𝐷} = 4 \cdot 2 + (−2) \cdot 4 + (−4) \cdot 4 = 8 − 8 − 16 = −16$

$cos~∠𝐸= \frac{\overrightarrow{𝐸𝐺} ~\cdot~ \overrightarrow{𝐸𝐷}}{|\overrightarrow{𝐸𝐺}| ~ \cdot ~|\overrightarrow{𝐸𝐷}|}=\frac{−16}{6 ~\cdot~ 6}=\frac{−4}{9}$

$(\widehat{BN,AM})=(\widehat{\overrightarrow{BN},\overrightarrow{AM}})$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|~\cdot~|\overrightarrow{b}|\cdot cos⁡~\alpha⇒cos⁡~\alpha=\frac{\overrightarrow{a} ~\cdot ~\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|~\cdot~|\overrightarrow{b}|}$

Определим координаты точек $B,N,A,M$:

$B(0;0;0),A(1;0;0),$

Поскольку точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$, то $M(1;\frac{1}{2};1)$.

Поскольку $B_1N:A_1N=1~∶~4$, то $N(\frac{1}{5};0;1)$.

Определим координаты $\overrightarrow{BN}$ и $\overrightarrow{AM}$ и их длины:

$\overrightarrow{BN}(\frac{1}{5}-0;0-0;1-0)=(\frac{1}{5};0;1)$

$|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{(\frac{1}{5})^2+0^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{25}+1}=\sqrt{\frac{26}{25}}=\frac{\sqrt{26}}{5}$

$\overrightarrow{AM}(1-1;\frac{1}{2}-0;1-0)=(0;\frac{1}{2};1)$

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{0^2+(\frac{1}{2})^2+1^2 }=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt5}{2}$

$\overrightarrow{BN}~\cdot~\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\cdot 0+0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot1=0+0+1=1$

$cos(\widehat{\overrightarrow{BN},\overrightarrow{AM}})=\frac{\overrightarrow{BN}~\cdot~\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{BN}|~\cdot~|\overrightarrow{AM}|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{26}}{5}~\cdot~\frac{\sqrt5}{2}}=1∶\frac{\sqrt{26}~\cdot~\sqrt{5}}{5~\cdot~2}=1\cdot \frac{5~\cdot~2}{\sqrt{26}~\cdot~\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{130}}$