$1. \overrightarrow{𝐷𝐵} \parallel \overrightarrow{𝐻𝐹}~($так как $𝐷𝐵 \parallel 𝐻𝐹)$ и $\overrightarrow{|𝐷𝐵|} = \overrightarrow{|𝐻𝐹|} ⇒ \overrightarrow{𝐷𝐵} = \overrightarrow{𝐻𝐹}$

$2. 𝐵𝐶 \parallel 𝐴𝐷$ как противоположные стороны параллелограмма $𝐴𝐵𝐶𝐷$ и $𝐵𝐶 ∦ 𝐵𝐺$, так как это сторона и диагональ в параллелограмме $𝐵𝐶𝐺𝐹$. Значит, $𝐴𝐷 ∦ 𝐵𝐺$, то есть $\overrightarrow{𝐴𝐷} ∦ \overrightarrow{𝐵𝐺}$.

$3. \overrightarrow{𝐵𝐶} \upuparrows \overrightarrow{𝐹𝐺}$, так как лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону ($𝐵𝐶 \parallel 𝐹𝐺$ как противоположные стороны параллелограмма).

$4. 𝐴𝐸 ↑↓ 𝐹𝐵$, так как лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны ($𝐴𝐸 \parallel 𝐵𝐹$ как противоположные стороны параллелограмма).

Воспользуемся правилом треугольника:

$1. \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$

$2. \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AC}$

$1.$ Векторы $\overrightarrow{FE_1}$ и $\overrightarrow{HG_1}$ лежат в параллельных плоскостях, а вектор $\overrightarrow{E_1 G_1}$ лежит в плоскости, не параллельной этим плоскостям. Значит, данная тройка векторов не компланарна.

$2.$ Коллинеарные векторы — два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

$3.$ Компланарные векторы — векторы, параллельные одной плоскости. Поэтому векторы, лежащие в одной плоскости, компланарны.

$4.$ Для нахождения суммы трёх некомпланарных векторов применяют правило параллелепипеда.

$3\overrightarrow{a} = ( 3 \cdot 0 ; 3 \cdot 1 ; 3 \cdot 2 ) = ( 0 ; 3 ; 6 )$

$2\overrightarrow{b}=(2\cdot 3; 2\cdot 6; 2\cdot 4)=(6; 12; 8)$

$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}−2\overrightarrow{b}=(0; 3; 6)−(6; 12; 8)=(−6; −9; −2)$

$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{𝑥_c^2 +𝑦_c^2 +𝑧_c^2} =\sqrt{(−6)^2 +(−9)^2 +(−2)^2} =\sqrt{36+81+4}= \sqrt{121} = 11$

Условие коллинеарности векторов:

$\frac{x_1}{x_2} =\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$

$\frac{6}{15}=\frac{x}{-20}=\frac{12}{y}$

$\frac{6}{15}=\frac{x}{-20} ⇒𝑥=\frac{6~\cdot~(−20)}{15}=−8$

$\frac{6}{15} =\frac{12}{y}⇒𝑦=\frac{12~\cdot~15}{6}=30$

$\overrightarrow{a}(1; −5; 4);\overrightarrow{b}(−2; 4; −5); \overrightarrow{c}(−3; 9; 2); \overrightarrow{d}(4; −7; −1)$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}= (1 + (−3); − 5 + 9; 4 + 2) = (− 2; 4; 6)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=(1+(−2)+4; −5+4+(−7); 4+(−5)+(−1))= (3; −8; −2)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})+\overrightarrow{c}=(3; −8; −2)+(−3; 9; 2)=(3+(−3); −8+9; −2+2)=(0; 1; 0)$