Открыть изображение ↗

Иллюстратор Семеркова Ю. В.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой.

$∠HBC={\Large\frac{1}{2}}∠CBA={\Large\frac{1}{2}} \cdot 77°=38{,}5°$

Ответ: $38{,}5°$.

Так как точка B находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $C$, то $BA=BC$. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, значит,

$∠BAC=∠BCA$ как углы при основании.

$∠BCA=180°-α=180°-148°=32°$ (углы $BCA$ и $α$ смежные).

$β=∠BAC$ как вертикальные.

$β=∠BAC=∠BCA=32°.$

$∠DFE$ и $∠EFT$ — смежные углы.

$∠DFE=180°-140°=40°$

Сумма углов треугольника $180°$, значит:

$∠DEF=180°-40°-90°=50°$

Открыть изображение ↗

Иллюстратор Семеркова Ю. В.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

$GH=EH={\Large\frac{1}{2}} EG={\Large\frac{1}{2}} \cdot 25=12,5$ см

$∠EFH=∠GFH=39°$

$∠EFG=2∠EFH=2 \cdot 39°=78°$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

$P_{QWR}=3QW,$

$QW=45∶3=15$ см.

$P_{QWE}=QW+2QE,$

$QE=(78-15) ∶2=63∶2=31,5$ см.

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

$∠ABC=48°$

$∠BAC=∠BCA=(180°-48°) ∶2=132°∶2=66°$

$AK$ — биссектриса, значит, $∠BAK=∠CAK=66°∶2=33°$

$∠CAH=180°-∠CAH-∠AHC=180°-66°-90°=24°$

$∠KAH=∠KAC-∠CAH=33°-24°=9°$

Ответ: $9°.$

Открыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Решение:

Рассмотрим треугольники $ΔABM$ и $ΔCBM$.

1. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то $∠A = ∠C$.

2. Биссектриса делит угол пополам, поэтому $∠ABM = ∠CBM$.

3. Стороны $AB$ и $CB$ у треугольников $ABM$ и $CBM$ равны как боковые стороны равнобедренного треугольника $ABC$.

4. Таким образом, $ΔABM = ΔCBM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, равны все соответствующие элементы, в том числе стороны $AM = CM$.

А это означает, что отрезок $BM$ является медианой данного треугольника и делит сторону $AC$ пополам.

$AM ={\Large\frac{1}{2}} AC={\Large\frac{1}{2}} \cdot 84= 42$ см.