Теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

1. Средняя линия треугольника равна 17∶2=8,5 см.

2. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.

Трапеция равнобедренная, значит, углы при основаниях равны:

$∠𝐷 = ∠А = 34°$.

$∠В = ∠С = 180° – ∠А = 146°$.

Отрезок $EF$ cсоединяет середины боковых сторон трапеции, значит, является средней линией, поэтому его длина равна полусумме оснований.

$EF={\Large\frac{1}{2}} (AD+BC)={\Large\frac{1}{2}} (38+18)=28$ дм.

$BCDE$ ― параллелограмм, значит, $BE = СD$ и $BС = ED$.

$𝑃(𝐴𝐵𝐶𝐷) = ВС + СD + AD + AB$.

Так как $AD = AE + ED$,

$𝑃(𝐴𝐵𝐶𝐷) = ВС + BE + AE + ED + AB$.

Подставим в это равенство $BE + AE + AB = P(ABE)$ и $BС = ED = 8$ см.

$𝑃(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 8 + 27 + 8 = 43$ см.

Пусть в трапеции $ABCD$ $BC$ — меньшее основание, $AB$ — меньшая боковая сторона, $∠D=45°.$

Проведём высоту трапеции $CH$.

Так как $ABCH$ — прямоугольник, то $CH=AB=6$ см, $AH=BC=8$ см.

В прямоугольном треугольнике $CDH$ $∠C=∠D=45°$, поэтому этот треугольник равнобедренный и $DH=CH=6$ см.

$AD=AH+DH=8+6=14$ см.

$S_{ABCD}={\Large\frac{AD+BC}{2}}·CH={\Large\frac{14+8}{2}}·6=66$ см$^2$.

Открыть изображение ↗ Рис. 3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Пусть в трапеции $ABCD$ $AD$ — большее основание, $AB$ — меньшая боковая сторона, $∠D=45°.$

Проведём высоту трапеции $CH$.

Так как $ABCH$ — прямоугольник, то $CH=AB=6$ см.

В прямоугольном треугольнике $CDH$ $∠C=∠D=45°$, поэтому этот треугольник равнобедренный и $DH=CH=6$ см.

$AH=AD-DH=14-6=8$ см.

$BC=AH=8$ см.

Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, значит,

$АС = 2AK = 18$ см,

$ВС = 2BM = 12$ см.

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине, значит,

$AB = 2МК = 8$ см.

Пусть в квадрате $ABCD$ $BD=20$ см. Нужно найти периметр квадрата $MNKL$.

Так как точки $N$ и $K$ — середины отрезков $BC$ и $CD$, то $NK$ — средняя линия треугольника $BCD$. Значит,

$NK={\Large\frac{1}{2}} BD={\Large\frac{1}{2}} \cdot 20=10$ см.

$P_{MNKL}=4NK=4·10=40$ см.

Открыть изображение ↗ Рис. 5. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)