Сумму углов выпуклого $n$-угольника можно найти по формуле:

$180\degree \cdot (n-2)$. В данном случае:

$180 \degree \cdot (n-2)=2340$

$n - 2 = 13$

$n = 15$.

Ответ: $15$ сторон.

1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна $180\degree \cdot (n-2)$.

Для двенадцатиугольника получаем: $180\degree \cdot (12-2) = 1800\degree$.

2. У правильного многоугольника все углы равны, значит, один угол равен:

$1800 : 12 = 150\degree$.

1. $180\degree\cdot(n-2) = 2510\degree$

$(n-2) = {\Large\frac{251}{18}}$

$n-2 = {\Large\frac{251}{18}}$

$n-2 = 13{\Large\frac{17}{18}}$

$n = 15{\Large\frac{17}{18}}$

$n$ принимает ненатуральное значение, такого многоугольника не существует.

2. $180\degree\cdot(n-2) = 2880\degree$

$n =2880~∶~180 + 2$

$n=18$

$S=pr$

$R={\Large\frac{a^n}{2~sin\frac{180°}{n}}}$

$a_n=2R~sin\Large\frac{180°}{n}$

$a_{12}=2\cdot8~sin{\Large\frac{180°}{12}}=16~sin~15°$

$r={\Large\frac{a^n}{2~tg\frac{180°}{n}}}$

$r={\Large\frac{16~sin~15°}{2~tg~15°}}=8cos~15°$

$S={\Large\frac{1}{2}}\cdot12\cdot16~sin~15°\cdot8~cos~15°=384~sin~30°=384\cdot{\Large\frac{1}{2}}=192~см^2$

$a_8=2\cdot8~sin{\Large\frac{180°}{8}}=16~sin~22,5°$

$r={\Large\frac{16~sin~22,5°}{2~tg~22,5°}}=8~cos~22,5°$

$S={\Large\frac{8\cdot16~sin~22,5°}{2}}\cdot8~cos~22,5°=256~sin~45°≈181~см^2$