1. Если в равносторонний треугольник вписана окружность, то её центр находится на высоте треугольника и делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Поэтому радиус вписанной окружности равен половине радиуса $$BO$$ описанной окружности; $$r = 0,5·12 = 6$$ (см);

$$EO = 𝑟 = 6$$ см.

2. $$BE = BO + r = 12 + 6 = 18$$ (см).

В равностороннем треугольнике высоты равны, поэтому $$AD = BE = 18$$ см.

3. В равностороннем треугольнике углы равны $$60$$°. $$ΔBEC$$ — прямоугольный, т. к. $$BE$$ — высота.

$$tg C = tg60° = \sqrt{3}$$

$$tg C = \frac{BE}{EC}$$

$$\frac{18}{EC} = \sqrt{3}$$

$$EC = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} ≈ 10,4$$

1. Радиус малой пиццы:

$$r$$ = $$d$$ : $$2$$ = $$6$$ (см)

2. Площадь одной малой пиццы:

$$s$$ = 36$$π$$ ≈ 108 (см²)

3. Площадь 3 малых пицц:

$$s$$(3) = 3 · 108 = 324 (см²).

4. Площадь большой пиццы:

$$S = πR² = s(3)$$

$$R² = 108$$

$$R = \sqrt{108} ≈ 10,39$$

$$D = 2R$$

$$D = 20,78$$ см

Поскольку в условии дано, что вершины параллелограмма лежат на одной окружности, можно сделать вывод, что этот четырёхугольник — прямоугольник, ведь параллелограмм с разными углами вписать в окружность невозможно.

Диагональ прямоугольника будет диаметром окружности, то есть равна $$2 · 43,5 = 87$$ см.

Нам известно соотношение сторон. Пусть одна часть — $$x$$ см, тогда стороны прямоугольника — $$20x$$ и $21x$; составим уравнение по теореме Пифагора:

$$(20x)^{2} + (21x)^{2} = 87^{2}$$

$$x^{2} = \frac{87^{2}}{400 + 441}$$

$$x^{2} = 9$$

$$x = 3$$ см — одна часть.

$$20 ∙ 3 = 60$$ см — меньшая сторона параллелограмма.

$$21 ∙ 3 = 63$$ см — большая сторона параллелограмма.

$$2 ∙ (63 + 60) = 246$$ см — периметр параллелограмма.

Вспомним о том, что сумма углов в треугольнике равна $180$ градусам. Кроме того, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

$∠B = ∠𝐶 = 55°$

Углы $AOB$ и $BOC$ смежные.

$∠AOB = 180° – ∠BOC = 180° – 117° = 63°$.

В треугольнике $AOB$:

$∠A = 180° – 63° – 55 = 62°$.

$$AB∥MK$$, $$AB = MK$$, значит, $$ABKM$$ — параллелограмм. Поскольку $$ABKM$$ вписан в окружность, это прямоугольник, диагональ которого равна двум радиусам.

Из $$∆ABK$$ по теореме Пифагора:

$$BK^{2} = AK^{2} - AB^{2} = (17∙2)^{2} - 16^{2} = 900$$

$$BK = 30$$

$$P(ABKM) = 2(АВ + ВК ) = 2 ∙ (16 + 30) = 92$$ (см)

1. Все неизвестные углы находятся в четырёхугольниках, в которых есть два угла по $$90°$$ (по условию).

Поэтому сначала найдём углы треугольника $$MNK$$.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Поэтому $$MO$$ и $$NO$$ делят углы $$M$$ и $$N$$ пополам:

$$∠M = 2∠OMN = 2 · 39° = 78°$$;

$$∠N = 2∠KNO = 2 · 20° = 40°;$$

$$∠K = 180° − ∠M − ∠N$$ (по свойству углов треугольника);

$$∠K = 180 − 78 − 40 = 62°$$.

2. $$∠COA$$ находится в четырёхугольнике $$AOCM$$, в котором есть два прямых угла ($$A$$ и $$C$$).

По свойству углов четырёхугольника:

$$∠COA = 360° − ∠A − ∠C − ∠M = 102°$$.

Аналогично вычисляются остальные углы, которые находятся соответственно в четырёхугольниках $$AOBN$$ и $$BOCK$$, в которых есть также по два прямых угла.

$$∠AOB = 360° − ∠A − ∠B − ∠N = 180 − 40 = 140°$$.

$$∠BOC = 360° − ∠B − ∠C − ∠K = 180 − 62 = 118°$$.

1. Если расстояние между центральными точками двух несовпадающих окружностей равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются.

Когда две окружности соприкоснулись друг с другом, расстояние между их центрами будет равно сумме их радиусов, если касание внешнее, и разности — если эти окружности расположены одна внутри другой.

Правильный ответ: верно.

2. Опирающиеся на одну дугу вписанные углы в данной окружности равны.

Правильный ответ: верно.

3. Когда вписанный в окружность угол равен 15°, дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 45°.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Правильный ответ: неверно.

4. Через любые различные точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну, значит, нам нужны три точки.

Правильный ответ: неверно.