Треугольник $KLT$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$KL=\sqrt{KT^2-LT^2}=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1296}=36$ см

$TM=KL=36$ см

$S_{TMN}={\Large\frac{1}{2}}TM \cdot MN={\Large\frac{1}{2}} \cdot 14 \cdot 36=252$ см$^2$ Открыть изображение ↗ Рис. 1. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, треугольник $AOC$ прямоугольный. Тогда

$tg ~∠AOC={\Large\frac{AC}{AO}}=\sqrt3$, значит, $∠AOC=60°$

$∠AOB=2∠AOC=120°$

Меньшая дуга $AB$ равна $120°$. Большая дуга равна:

$360°-120°=240°$ Открыть изображение ↗ Рис. 2. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BD = 48$ см. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

$AO={\Large\frac{1}{2}} BD=24$ см

Из теоремы Пифагора:

$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{40^2-24^2}=32$ см

$AC=2AO=2 \cdot 32=64$ cм

$S={\Large\frac{1}{2}} \cdot 64 \cdot 48=1536$ см$^2$ Открыть изображение ↗ Рис. 3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

$∠DCH=120°-90°=30°$

$HD$ — катет прямоугольного треугольника $DCH$, лежащий напротив угла в $30°$.

$HD={\Large\frac{1}{2}} CD$

$ABCH$ — прямоугольник, $BC=AH$

Пусть $BC=a, DH={\Large\frac{a}{2}}.$

Треугольник $DCH$ — прямоугольный, из теоремы Пифагора:

$CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}={\Large\frac{a\sqrt3}{2}}$

$S={\Large\frac{BC+AD}{2}} \cdot CH={\Large\frac{a+a+{\Large\frac{a}{2}}}{2}} \cdot {\Large\frac{a\sqrt3}{2}}={\Large\frac{5\sqrt3 a^2}{8}}$

${\Large\frac{5\sqrt3 a^2}{8}}=90\sqrt3$

$a^2=18 \cdot 8$

$a=12$

$AD=12+{\Large\frac{1}{2}} \cdot 12=18$ см Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9125 от 09.01.2025 г.)

$S={\Large\frac{a^2 \sqrt3}{4}}$

${\Large\frac{a^2 \sqrt3}{4}}=48\sqrt3$

$a^2=4 \cdot 16 \cdot 3$

$a=8\sqrt3$

$R={\Large\frac{a}{\sqrt3}}=8$ см

$r={\Large\frac{1}{2}} R=4$ см

$C=2πR≈2 \cdot 3{,}14 \cdot 8=50{,}24$

Вершины треугольника делят окружность на $3$ равные части.

Длина меньшей дуги $AB$ равна ${\Large\frac{1}{3}} C={\Large\frac{1}{3}}2πR≈{\Large\frac{1}{3}} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 8≈17$