𝐵𝑂 — гипотенуза в прямоугольном треугольнике 𝑂𝐿𝐵.

По теореме Пифагора:

𝐵𝑂² = 𝐵𝐿² + 𝐿𝑂²

𝐵𝑂² = 100

𝐵𝑂 = 10 см

1. $CO=OD=AO=BO=1/2 CD=3\sqrt{2}$ (радиусы окружности). 2. AD — гипотенуза в прямоугольном треугольнике AOD.

По теореме Пифагора:

$AD² = AO² + 𝑂D²$

$AD² = 2∙(3\sqrt{2})^2=2∙18=36$

$AD = 6 см$

Если четырёхугольник описан около окружности, то у него равны суммы длин противоположных сторон.

Следовательно:

$𝐹𝐺 + 𝐸𝐻 = 𝐺𝐻 + 𝐸𝐹$

$8 + 14 = 6 + 𝐸𝐹$

$22 = 6 + 𝐸𝐹$

$𝐸𝐹 = 22 − 6 = 16 дм$

∠𝑀𝐾𝐿 = 90°, так как опирается на ∪𝑀𝐿.

∪𝑀𝐿 = 180° и равен половине этой дуги.

𝐾𝑂 = 𝑀𝑂 = 𝐿𝑂 = 5,2 см (как радиусы).

Поэтому диаметр в два раза больше:

𝑀𝐿 = 2 · 5,2 = 10,4 см

1) ∪𝐶𝐴 = 360° − ∪𝐴𝐵 − ∪𝐵𝐶 = 360 − 230 = 130°.

2) ∠𝐴𝑂𝐶 = ∪𝐶𝐴 = 130° (как центральный угол, опирающийся на дугу).

∠𝐵𝑂𝐶 = ∪𝐵𝐶 = 110° (как центральный угол, опирающийся на дугу).

∠𝐴𝑂𝐵 = ∪𝐴𝐵 = 120° (как центральный угол, опирающийся на дугу).

3) Углы 𝐿, 𝑀, 𝑁 находятся в четырёхугольниках, в которых есть по два прямых угла.

По свойству углов четырёхугольника:

∠𝐿 = 360° − ∠𝐵 − ∠𝐶 − ∠𝐵𝑂𝐶 = 180 − 110 = 70°

∠𝑀 = 360° − ∠𝐴 − ∠𝐶 − ∠𝐴𝑂𝐶 = 180 − 130 = 50°

∠𝑁 = 360° − ∠𝐴 − ∠𝐵 − ∠𝐴𝑂𝐵 = 180 − 120 = 60°

1) У трапеции сумма длин противоположных сторон должна быть равна, так как в неё вписана окружность:

$𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷$.

Боковые стороны равны, поэтому $2𝐴𝐵 = 18 + 8 = 26$; $𝐴𝐵 = 13$.

2) Проведём высоту $BH$,

$r = ½ BH$.

3) Трапеция равнобедренная, поэтому:

$𝐴H = (𝐴𝐷 − 𝐵𝐶) : 2 = (18 − 8) : 2 = 5$

4) По теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{AB^2-AH^2}$

$BH = \sqrt{13^2-5^2}$

$BH = \sqrt{144}=12$

5) $r = ½ BH = 6$

1. У ромба все стороны равны, треугольник $MLK$ равнобедренный с углом $60$°, значит, он равносторонний: $ML = LK = MK = 2OK = 6 см$.

2. $p = 2LK = 12$ (так как у ромба все стороны равны).

3. $S_{ромба}=pr$.

Выразим $r$ из этой формулы:

$r=\frac{S}{p}$

$r=\frac{18\sqrt{3}}{12} = 1,5\sqrt{3} см$

4. $S_{круга}=\pi r^2=6,75\pi$ $см²$.