Поскольку хорды проходят через центр окружности, они делятся этой точкой пополам.

Значит, треугольник $𝐴𝑂𝐵$ равнобедренный. Углы $𝐶𝑂𝐷$ и $𝐴𝑂𝐵$ вертикальные, значит, они равны. Сумма углов в треугольнике $𝐴𝑂𝐵$, как и в любом другом, 180°.

Чтобы найти $∠𝐴𝐵𝐶$, нужно из суммы углов вычесть $96$ и разделить оставшееся число пополам.

$(180 – 96) : 2 = 42°$

$∠ОКА=90$° — радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

$tg OAK=\frac{OK}{AK}$

$tg30=\frac{OK}{8\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{OK}{8\sqrt{3}}$

$ОК=8$

Ответ: $8$.

Проведём отрезок $BD$.

Треугольник $ABD$ равнобедренный, значит,

$∠DAB=∠BDA=23$°

$∠BDС=∠ADС-∠BDA=112-23=89$°

Треугольник $DBC$ равнобедренный, $∠BDС=∠BСD=89$°

$𝑟 = 3,5 кл. = 3,5∙3=10,5$ условных единиц,

$𝑆 = \pi𝑟^2$,

$\pi = 3,14$,

$𝑆 = 3,14⋅10,5² = 346,185$

Правильный ответ: $346,185$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Поэтому нужный нам угол $𝐴𝐵𝐶$ состоит из углов $𝐴𝐵𝐷$ и $𝐷𝐵𝐶$, но также и из углов $𝐴𝐵𝐷$ и $𝐷𝐴𝐶$.

$∠DAC = ∠𝐷𝐵𝐶, ∠ABC = ∠ABD + ∠𝐷𝐴𝐶 = 37 + 53 = 90$°.

Расстояние от точки до прямой — обязательно перпендикуляр.

Таким образом, если выполнить дополнительные построения, станет понятно, что перед нами равнобедренный треугольник, который состоит из двух прямоугольных треугольников.

Находить заданную в условии величину будем через теорему Пифагора.

Также нужно учесть, что длина хорды — удвоенный катет.

$\sqrt{10^2+(\sqrt{21})^2}=11$

Правильный ответ: $11$.

Обратим внимание на то, что треугольник равносторонний.

Тогда для него работает формула:

$𝑅=\frac{a}{\sqrt{3}}$

$𝑅=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=7$

Правильный ответ: $7$.

Отрезки $𝑂𝐴$ и $𝑂𝐶$ являются радиусами окружности, а прямые $𝐴𝐵$ и $𝐵𝐶$ — касательными к этой окружности.

Между касательной к окружности и её радиусом обязательно прямой угол, таким образом, в получившемся четырёхугольнике мы имеем два прямых угла, сумма которых равна $180$°.

Сумма углов четырёхугольника $360$°, значит, на оставшиеся два угла остаётся ещё $180$°.

Вычтем из неё угол $𝐵$ и получим угол $𝐴𝑂𝐶$.

$∠𝐴𝑂𝐶 = 180-48=132$°

Правильный ответ: 132°.

Сторона квадрата равна двум радиусам вписанной в него окружности.

Площадь квадрата равна произведению его сторон.

$(2∙7)^2=196$

Правильный ответ: $196$.

$∠𝐴𝐷𝐶 = \frac{1}{2} ∠𝐴𝑂𝐶 = \frac{1}{2} ⋅ 164 = 82$°

Правильный ответ: $82$°.