Проведём в треугольнике высоту $BH$. В треугольнике $BCH$:

$ctg C={\Large\frac{CH}{BH}}={\Large\frac{3}{4}}=0,75$ Открыть изображение ↗ Рис. 2. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Площадь квадрата со стороной a можно найти по формуле:

$S=a^2$.

Найдём из этой формулы сторону клетки:

$a=\sqrt S=\sqrt9=3$ см.

Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $BH$.

$BH=6$ клеток$=(6 \cdot 3)$ см $=18$ см

$AH=8$ клеток$=(8 \cdot 3)$ см $=24$ см

Рассмотрим треугольник $ABH$. Из теоремы Пифагора:

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30$ см

Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg⁡C={\Large\frac{AB}{AC}}$

Найдём длину катета $AC$.

Из теоремы Пифагора:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{35^2-21^2}=28$ см

$tg⁡C={\Large\frac{21}{28}}=0,75$

Открыть изображение ↗ Рис. 5. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

$𝑆 ={\Large\frac{1}{2}} ⋅ 17 ⋅ 8 = 68$ см².

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. А отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией и равен половине третьей стороны.

Так как $M$ и $N$ середины $AB$ и $BC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $𝐴𝐵𝐶$ и $MN = {\Large\frac{1}{2}} AC = 7,3$ см.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. То есть, для того чтобы найти площадь большего треугольника, нам нужна, кроме его основания, высота. Заметим, что в получившихся треугольниках высота будет одна и та же.

Отсюда видим, что площади треугольников будут относиться так же, как их основания. Сравним основания, выберем большее, составим и решим пропорцию:

${\Large\frac{S_{BDC}}{S_{ABC}}} ={\Large\frac{DC}{AC}}$

${\Large\frac{S_{BDC}}{270}}={\Large\frac{10}{15}}$

$S_{BDC} = 180$ см².

Медианы в равностороннем треугольнике являются высотами. Высоту равностороннего треугольника со стороной a можно найти по формуле:

$h={\Large\frac{a\sqrt 3}{2}}$

$h={\Large\frac{6 \sqrt 3 \cdot \sqrt 3}{2}}=9$ см

Для решения задачи можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2 α + cos^2 α = 1$.

$cos^2 B=1-\left({\Large\frac{3\sqrt 5}{5\sqrt 2}}\right)^2=1-{\Large\frac{45}{50}}=1-0,9=0,1$