Вертикальные углы равны, поэтому $∠KON=∠LOM=102°.$ $OK = ON$ как радиусы окружности, тогда треугольник $KON$ равнобедренный с основанием $KN$. Значит, $∠KON=∠LOM=(180-102) ∶2=39°.$

Проведём хорду $MN$ в круге с центром в точке $O$. $OH$ — высота равнобедренного треугольника $MNO$. $MN = 80, MH = 40, OH = 42$. Из теоремы Пифагора в треугольнике $MHO$ : $MO=\sqrt{MH^2+OH^2}=\sqrt{40^2+42^2}=\sqrt{3364}=58$ Открыть изображение ↗ Рис. 2

Так как центр окружности лежит на отрезке $MN$, а его концы лежат на окружности, то $MN$ — диаметр. $MN=2 \cdot 13=26$ Угол $MKN$ опирается на диаметр окружности, поэтому этот угол прямой, а треугольник $KMN$ прямоугольный. Из теоремы Пифагора в треугольнике KMN: $KM=\sqrt{MN^2-KN^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24$

В четырёхугольнике $AMON$ угол $A$ прямой как угол квадрата, углы $M$ и $N$ прямые, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, угол $O$ в этом четырёхугольнике тоже прямой. А так как $OM$ и $ON$ равны, то $AMON$ — квадрат. Сторона квадрата в $\sqrt 2$ раз меньше его диагонали. $ON={\Large\frac{MN}{\sqrt 2}}={\Large\frac{5\sqrt 2}{\sqrt 2}}=5$ Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Сторона квадрата равна $2 \cdot 5=10$. $P=4 \cdot 10=40$ Открыть изображение ↗ Рис. 5

Треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$, значит, $∠ABO=∠BAO =32°$, $∠OBC=∠ABC-∠ABO =116°-32°=84°$. Треугольник $COB$ равнобедренный с основанием $CB$, значит, $∠BCO=∠OBC =84°$. Открыть изображение ↗ Рис. 7

Градусная мера меньшей дуги $MK$ равна $360°-290°=70°$. $MN$ — касательная к окружности, $MK$ — хорда, проведённая из точки касания. Тогда угол между ними равен половине градусной меры меньшей дуги $MK$. $∠NMK=70:2=35°$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. $∠EKL=∠EFL=60°$ $∠FKL = ∠FKE+ ∠EKL = 40+ 60 = 100°$ Открыть изображение ↗ Рис. 10

Угол $KMN$ вписанный, угол $KON$ центральный, опираются на одну дугу. $∠KON= 2∠KMN=112°$ Треугольник $KNO$ равнобедренный с основанием $KM$, значит, $∠KNO =∠NKO =(180-112) :2=34°$. Открыть изображение ↗ Рис. 11

$OB = OC = R,AO = AC-OC=AC-R$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $ABO$ прямоугольный. По теореме Пифагора: $AO^2=AB^2+OB^2$ $(AC-R)^2=AB^2+R^2$ $AC^2-2AC \cdot R+R^2=AB^2+R^2$ $R={\Large\frac{AC^2-AB^2}{2AC}}={\Large\frac{20^2-8^2}{2 ~\cdot~ 20}}=8{,}4$ Открыть изображение ↗ Рис. 12

Так как середина стороны $ET$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, то четырёхугольник вписанный, а $ET$ — диаметр описанной окружности. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$, поэтому $∠ETL=180°-∠EFL=180°-112°=68°$ $∠FET=180°-∠FLT=180°-113°=67°$ Вписанный угол $EFT$ прямой, так как опирается на диаметр. $∠ETF=90°-∠FET=90°-67°=23°$ $∠LTF=68°-23°=45°$ Из теоремы синусов в треугольнике $LTF$ : $ET={\Large\frac{FL}{sin~45°}}={\Large\frac{10\sqrt 2}{{\Large\frac{\sqrt 2}{2}}}}=20$ Открыть изображение ↗ Рис. 13