Задание 1.

Мяч упал без начальной скорости с некоторой высоты. Проекция его скорости на ось Y, направленную вертикально вверх, изменяется со временем, как показано на рисунке. Определите высоту, с которой упал мяч, и путь, пройденный им за 4 с. Объясните, с чем связаны одинаковые углы наклона прямых зависимости . Что происходит с мячом, когда ?

Рис. 1

Рассмотрим интервал времени (0–2) с.

, где t = 2 c, 

 (то есть мяч, как и ожидалось, движется с ускорением свободного падения, но в других случаях на него может оказывать влияние сопротивление воздуха). Модуль мы использовали, поскольку значение длины пути всегда положительно.

.

А теперь покажем, как получить тот же результат графически.

Рис. 2

Длину пути можно найти по графику зависимости как площадь под кривой (или ломаной) за время наблюдения, в нашем случае — за 2 с.

Площадь прямоугольного треугольника (выделено зелёным на рис.) равна длине пути, пройденного мячом до удара о землю, то есть Н:

Вы видите, что этот способ намного проще аналитического в тех случаях, когда имеется (или его легко построить самому) график зависимости скорости от времени.

Поэтому ответ на второй вопрос задания получим именно графически.

Площадь h каждого из двух малых треугольников (выделено жёлтым цветом) равна:

Тогда общий путь за 4 с: 

Объясним ход графика.

Так как ось Y направлена вверх, а ускорение и скорость при падении — вниз, их проекции на Y отрицательны, причём ускорение при свободном падении постоянно, а модуль скорости растёт. После удара о землю и отскока мяча его ускорение не изменилось, значит, и угол наклона прямой одинаков для всех участков. При отскоке уменьшилась начальная скорость, вектор которой теперь направлен вверх, поэтому проекция  положительна. Затем ход графика повторяется.

В моменты, когда , знак проекции и направление вектора скорости меняются на противоположные.

Ответ: H = 20 м; s = 30 м; угол наклона постоянный, так как ускорение a = const; при  направление вектора скорости мяча меняется на противоположное.

Задание 2.

От перекрёстка одновременно отъехали два автомобиля: первый со скоростью , второй со скоростью  в направлении, перпендикулярном движению первого. Какова скорость первого автомобиля относительно второго?

Рис. 3

Теперь по теореме Пифагора (получили прямоугольный треугольник) найдём :

Ответ: , направление вектора относительной скорости показано на рисунке.

Задание 3.

Велосипедист, находясь в 20 м перед светофором, начинает движение из состояния покоя и движется равноускорено и прямолинейно. Через 15 с его скорость становится равной 5 м/с. Запишите уравнение зависимости координаты велосипедиста от времени, принимая светофор за начало отсчёта. Определите путь, пройденный велосипедистом за 10 с.

Тогда уравнение движения будет выглядеть следующим образом:

Теперь определим длину пути, пройденного велосипедистом за t₂ = 10 c.

Решим задачу графически.

Для этого по данным условия построим график зависимости , тогда длина пути будет численно равна площади под кривой (или ломаной) за время наблюдения.

Рис. 4

Площадь прямоугольного треугольника (выделен голубым) равна половине произведения основания на высоту. Высоту треугольника в нашем случае мы можем определить приблизительно: 

Тогда 

Как мы видим, второй способ менее трудоёмкий, но и менее точный.

Ответ: .

Задание 4.

Камень бросили вертикально вверх с высоты 5 м со скоростью 18 м/с. На какой высоте над землёй окажется камень через 1 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рис. 5

Запишем выражение зависимости координаты камня от времени:

Для нашей физической ситуации

В момент t = t' , а y = H.

Тогда 

Проведём вычисления:

Ответ: Н = 18 м.

Задание 5.

Частота вращения диска радиусом R = 75 см составляет 0,25 Гц. За какое время точка диска, находящаяся на расстоянии R/3 от края диска, пройдёт по окружности путь, равный 4,71 м?

Проведём вычисления:

Ответ: t = 6 с.

Список использованных источников:

Рис. 1–5. Иллюстратор Худолей Ю. В.