Задание 1.

Радиоуправляемая игрушка-паровозик движется на прямолинейном участке железной дороги. Направление оси Х совпадает с направлением начальной скорости паровозика (см. рис.). Определите проекцию скорости паровозика в момент времени 4 с, проекцию перемещения в интервале времени 6–12 с и среднюю путевую скорость за всё время движения.

Рис. 1

Дано:

Найти:

Решение:

По оси откладывается координата прямолинейно движущегося тела (игрушки-паровозика) в различные моменты времени.

Так как участки графика представлены отрезками прямых, то на всех участках паровозик движется равномерно, хотя и с различной скоростью по величине и направлению

Момент времени принадлежит участку движения в интервале , характер движения паровозика на котором не изменяется. Проекцию скорости найдём, используя определение скорости:

, где  — проекция перемещения, совершённого в интервале времени , на ось X.

В интервале (2–6) c , .

Тогда проекция скорости паровозика .

Обратите внимание: проекция векторной величины может быть как положительной, так и отрицательной.

Проекция перемещения в интервале времени (6–12) с  .

Средняя путевая скорость за всё время движения:

.

Ответ: ; , .

Задание 2.

Считается, что гепард бегает быстрее всех зверей, он может развивать скорость до 108 км/ч. Но долго он в таком темпе бежать не может. Обычно при охоте он тратит на поимку добычи 20 с. Считая, что разгон и торможение вместе длятся четверть времени движения, а остальное время гепард бежит с максимальной скоростью, определите среднюю скорость гепарда во время охоты.

Дано:

Найти: 

Решение:

Средняя скорость (средняя путевая скорость) равна:

.

Мы помним, что длину пути можно найти по графику зависимости  как площадь под кривой (или ломаной) за время наблюдения.

Построим эту зависимость схематически.

Рис. 2

Обратите внимание, что мы не знаем, как соотносятся времена разгона и торможения гепарда, поэтому изображаем их заведомо разными.

Итак, площадь получившейся трапеции численно равна длине пути во время пробега гепарда (все значения величин должны быть выражены в СИ). Значит, мы должны полусумму оснований трапеции умножить на её высоту:

.

Тогда 

.

Мы видим, что при таком методе решения время, в течение которого гепард догоняет добычу, нам не понадобилось. Однако вы можете решить задачу сами по действиям, вычисляя длину пробега гепарда. Тогда понадобится и общее время пробега.

Вычислим среднюю скорость:

.

Ответ: .

Задание 3.

Два велосипедиста выезжают из лагеря и движутся с постоянными скоростями вдоль прямого отрезка шоссе в одном направлении. Скорость первого — 7,2 км/ч. Второй проехал мимо дорожного знака на 20 с позже первого. На каком расстоянии от дорожного знака он догонит первого велосипедиста, если его скорость на 1 м/с больше скорости первого? Решите задачу аналитически и графически, построив графики x(t) для каждого велосипедиста.

Дано:

Найти:

Решение:

Решим задачу двумя способами — аналитически и графически.

Направим ось координат Х по скорости велосипедистов, пусть дорожный знак находится в начале координат, то есть в точке .

1-й способ

Запишем кинематические уравнения движения  для обоих велосипедистов:

,

.

Но , а (так как второй велосипедист проехал мимо дорожного знака позже на ).

Тогда .

В момент, когда второй велосипедист догонит первого, их координаты окажутся равными:  или .

Раскроем скобки и решим уравнение относительно :

2-й способ

Зная скорости, построим графики зависимости , определив их пути, например, за 30 с.

Рис. 3

Мы видим, что графики пересекутся в точке  и . Это и есть расстояние велосипедистов от нулевой точки, в которой расположен дорожный знак.

Ответ: .

Задание 4.

Мяч бросили с балкона высотой 6 м с начальной скоростью 10 м/с, направленной вертикально вверх. Через какое время он достигнет максимальной высоты? На какой высоте от поверхности земли его скорость уменьшится в 3 раза по сравнению с исходной? Решите задачу, используя законы кинематики. Сопротивлением воздуха при движении пренебречь.

Дано:

Н = 6 м

Найти:

Решение:

При движении вверх мяч движется равнозамедленно с ускорением свободного падения . Выберем систему координат, ось Y в которой направлена вертикально вверх, а начало отсчёта находится на поверхности земли под точкой, из которой бросили мяч (см. рис.).

Зависимость скорости мяча от времени:

.

Рис. 4

Время подъёма (от момента броска до максимальной высоты) , на этой высоте .

Тогда , .

Теперь решим вторую часть задачи.

Запишем формулу зависимости пути от скорости и ускорения при равнозамедленном движении (обратите внимание: её можно использовать только в случае, когда направление движения тела не изменяется):

, так как по условию .

Поскольку мяч бросили с балкона высотой , то в момент, когда скорость мяча уменьшится в три раза по сравнению с исходной, он окажется на высоте:

.

Ответ: ; .

Список использованных источников:

Рис. 1. Иллюстратор Гурьева Е. С.

Рис. 2–4. Иллюстратор Худолей Ю. В.