Дано:

$m=2,5 кг$

$30 км ≤h ≤40 км$

$F_А=27,9 Н$

$g=10 м/с^2$

Найти:

$F_т - ?$

$a - ?$

Решение На зонд при взлёте действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_т}$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда $\vec{F_А}$ , направленная вертикально вверх. Силу тяжести можно найти:

$F_т=mg=2,5 кг\cdot10 м/с^2 =25 Н$.

Запишем второй закон Ньютона, считая, что зонд движется в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй:

$\vec{F_т}+\vec{F_А}=m\vec{a}$.

Введём координатную ось, направленную вертикально вверх, и спроецируем на неё векторы сил и ускорения. Так как зонд движется вверх, то его ускорение также направлено вверх:

$-F_т+F_А=ma$. Отсюда:

$a = \frac{F_A - F_T}{m} = \frac{27{,}9 \, \text{H} - 25 \, \text{H}}{2{,}5 \, \text{кг}} = 1{,}16 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Дано:

$\upsilon_0 = 0$ м/с $\upsilon = 7$ м/с $\Delta t = 5$ с

Найти:

$|\vec{a}|$ - ?

Направление ускорения - ? Изменение веса груза - ?

Решение

Движение груза равноускоренное. Ускорение груза можно найти как отношение изменения скорости к интервалу времени, за которое произошло изменение:

$a=\frac{\upsilon-\upsilon_0}{\Delta t}=\frac{7\ \text{м/с}-0\ \text{м/с}}{5\ \text{с}}=1{,}4\ \text{м/с}^2$.

Так как скорость груза возрастает, то делаем вывод, что ускорение направлено так же, как и скорость груза, то есть вертикально вверх.

Теперь рассмотрим силы, которые действуют на груз: сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения троса лебёдки, направленная вертикально вверх (можно считать, что это эквивалент силы реакции опоры $\vec{N}$).

1) Запишем второй закон Ньютона, применяя его в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, для случая, если бы груз покоился на подвесе. В этом случае равнодействующая приложенных к нему сил была бы равна нулю:

$\vec{F}_{\text{т}}+\vec{N}=0$.

Введём координатную ось, направленную вертикально вверх. В проекциях на эту ось получим:

$F_{\text{т}}=N=mg$,

где $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения.

По третьему закону Ньютона вес и сила реакции опоры составляют так называемую ньютоновскую пару сил, тогда:

$|\vec{P}|=|\vec{N}|$.

Вес $\vec{P}$, с которым действует подвес на груз, равен по величине силе, с которой на него действует подвес, $\vec{N}$. Тогда получим:

$P=N=mg$.

2) Теперь запишем второй закон Ньютона, применяя его в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, для нашего случая, когда груз движется с ускорением $\vec{a}$:

$\vec{F}_{\text{т}}+\vec{N}=m\vec{a}$.

Введём координатную ось, направленную вертикально вверх. В проекциях на эту ось получим:

$-F_{\text{т}}+N=ma$.

Выразим силу реакции опоры:

$N=ma+F_{\text{т}}=ma+mg=m(a+g)$.

По третьему закону Ньютона в этом случае вес груза:

$P=N=m(a+g)$.

Сравнивая величину веса груза в покое и при движении, можно сказать, что груз обладает увеличенным весом.

Ответ: $a=1{,}4\ \text{м/с}^2$; ускорение направлено вертикально вверх; груз обладает увеличенным весом.

Законы, которые в своё время ввёл Исаак Ньютон, составляют основу динамики классической механики.

Первый закон Ньютона вводит понятие инерциальной системы отсчёта — это модель, идеализированная система, в рамках которой выполняются остальные законы Ньютона.

Второй закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между действующей на тело силой и ускорением, которое приобретает тело, в результате действия этой силы. Коэффициентом пропорциональности между этими величинами является масса этого тела. Если её можно считать неизменной, то второй закон Ньютона можно записать как:

$\vec{F}=m\vec{a}$,

где $\vec{F}$ — равнодействующая приложенных к телу сил.

Третий закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между силами, с которыми взаимодействуют две материальные точки (или тела, которые можно считать материальными точками). Эти силы противоположны по направлению, и равны по модулю (то есть по величине):

$|\vec{F_{12}}|=|\vec{F_{21}}|$.

textbfДано:

$L = 1{,}4 \cdot 10^6$ км

$m_{\text{Ю}} = 1{,}9 \cdot 10^{27}$ кг

$m_{\text{И}} = 8{,}9 \cdot 10^{22}$ кг

$m_{\text{К}} = 1{,}08 \cdot 10^{23}$ кг

$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

СИ:

$L = 1{,}4 \cdot 10^9$ м

Найти:

$F_{\text{тяг}} - ?$

Решение

Сила гравитационного притяжения возникает между всеми объектами, обладающими массой. Если спутники можно считать шарообразными, будет справедлива следующая математическая запись закона всемирного тяготения для данных спутников:

$F_{\text{тяг}} = G \frac{m_{\text{И}} \cdot m_{\text{К}}}{R^2}$,

где $R$ — расстояние между центрами тяжести спутников. Так как спутники можно считать шарообразными, то центры их тяжести совпадут с их геометрическими центрами соответственно. Так как по условию радиусами планет относительно расстояния между ними можно пренебречь, то $R = L$.

Вычисляем:

$F_{\text{тяг}} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{8{,}9 \cdot 10^{22} \ \text{кг} \cdot 1{,}08 \cdot 10^{23} \ \text{кг}}{(1{,}4 \cdot 10^9 \ \text{м})^2} \approx 32{,}7 \cdot 10^{16}$ Н.

Ответ: $F = 32{,}7 \cdot 10^{16}$ Н.

Дано:

$F_{\text{т}} = 380$ кН

$F_{\text{с}} = 380$ кН

$F_{\text{п}} = 25$ кН

$F_{\text{тяж}} = 42$ кН

Найти:

Изменение скорости полёта в горизонтальном направлении - ?

Изменение высоты полёта - ?

$|F_{\text{рез}\,x}|$ - ?

$|F_{\text{рез}\,y}|$ - ?

$|F_{\text{рез}}|$ - ?

Решение

Запишем второй закон Ньютона для самолёта, считая, что он движется в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй:

$\vec{F}_{\text{с}} + \vec{F}_{\text{п}} + \vec{F}_{\text{т}} + \vec{F}_{\text{тяж}} = m\vec{a}$.

Введём координатные оси: ось $Ox$, направленную по направлению движения самолёта, и ось $Oy$, направленную вертикально вверх. Проецируя на эти оси, получим:

$F_{\text{т}} - F_{\text{с}} = ma_x$;

$F_{\text{п}} - F_{\text{тяж}} = -ma_y$.

Так как самолёт может изменять свою скорость в направлении обеих осей, то учитывать будем обе составляющие ускорения самолёта.

Подставим модули сил тяги и сопротивления:

$380$ кН $- 380$ кН $= ma_x$;

$0 = ma_x$;

$0 = a_x$.

Отсюда получаем, что скорость самолёта в горизонтальном направлении не изменяется.

Для определения изменения высоты полёта самолёта сравним силы, имеющие ненулевые проекции в вертикальном направлении: сила тяжести превышает подъёмную силу, это значит, что самолёт снижается, и высота полёта уменьшается.

Найдём результирующие силы:

$|F_{\text{рез}\,x}| = |F_{\text{т}} - F_{\text{с}}| = |380$ кН $- 380$ кН$| = 0$.

$|F_{\text{рез}\,y}| = |F_{\text{п}} - F_{\text{тяж}}| = |25$ кН $- 42$ кН$| = 17$ кН.

Так как в горизонтальном направлении результирующая сила равна нулю, то результирующая сила в общем совпадает с результирующей силой в вертикальном направлении:

$|F_{\text{рез}}| = |F_{\text{рез}\,y}| = 17$ кН.

Ответ: скорость самолёта в горизонтальном направлении не изменяется; высота полёта уменьшается;

$|F_{\text{рез}\,x}| = 0$ кН; $|F_{\text{рез}\,y}| = 17$ кН; $|F_{\text{рез}}| = 17$ кН.

Второй закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между действующей на тело силой и ускорением, которое приобретает тело в результате действия этой силы. Коэффициентом пропорциональности между этими величинами является масса этого тела. Если её можно считать неизменной, то второй закон Ньютона можно записать как:

$\vec{F} = m\vec{a}$,

где $\vec{F}$ — равнодействующая приложенных к телу сил.

Третий закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между силами, с которыми взаимодействуют две материальные точки (или тела, которые можно считать материальными точками). Эти силы противоположны по направлению и равны по модулю (то есть по величине):

$|\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_{21}|$.

Силы, которые удовлетворяют этим условиям, называют ньютоновской парой сил. Например, вес тела $P$ и сила реакции опоры, действующая на это тело, $N$ являются ньютоновской парой сил; можно записать:

$|\vec{P}| = |\vec{N}|$.

В рамках некоторых задач можно прийти к тому, что вес тела будет численно равен произведению массы тела и ускорения свободного падения $P = mg$, но это не является законом и справедливо далеко не всегда.

Также обратите внимание, что по третьему закону Ньютона силы равны именно по модулю, но по направлению противоположны, поэтому запись $\vec{F}_{12} = \vec{F}_{21}$ некорректна как формульная запись закона.

Закон всемирного тяготения описывает силу, с которой взаимодействуют тела, обладающие массой. Следующая запись справедлива для случаев, когда оба тела имеют форму шара, когда оба тела можно считать материальными точками или когда одно тело большой массы и имеет форму шара, а второе, наоборот, малой массы в сравнении с первым и может иметь произвольную форму:

$F_{\text{тяг}} = G \dfrac{m_1 m_2}{R^2}$.

В частном случае для тел вблизи поверхности Земли справедлива формула:

$F_{\text{т}} = mg$.

Дано:

$a = \text{const}$

$F = 7$ Н

$F_{\text{тр}} = 2$ Н

$\Delta t = 4$ с

$\Delta \upsilon = 2$ м/с

Найти:

$m - ?$

Решение

Груз тянут равноускоренно, тогда, рассматривая это в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, можно записать второй закон Ньютона:

$\vec{F}_{\text{рез}} = m\vec{a}$,

где $\vec{F}_{\text{рез}}$ — вектор равнодействующей сил, действующих на груз. Так как речь идёт о силах, действующих в горизонтальном направлении, будем рассматривать только его. Равнодействующая приложенных в горизонтальном направлении к грузу сил будет равна:

$\vec{F}_{\text{рез}} = \vec{F} + \vec{F}_{\text{тр}}$.

Введя координатную ось по направлению ускорения груза, в проекциях получим:

$F - F_{\text{тр}} = ma$,

$m = \dfrac{F - F_{\text{тр}}}{a}$.

Из кинематики для равноускоренного движения:

$a = \dfrac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$.

Получим:

$m = (F - F_{\text{тр}}) \cdot \dfrac{\Delta t}{\Delta \upsilon}$.

Вычисляем:

$m = (7\ \text{Н} - 2\ \text{Н}) \cdot \dfrac{4\ \text{с}}{2\ \text{м/с}} = 5\ \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2\ \dfrac{\text{с}^2}{\text{м}} = 10$ кг.

Ответ: $m = 10$ кг.