Дано:

$x = 10$ см

$\upsilon = 0{,}2$ м/с

$m = 100$ г

СИ:

$x = 0{,}1$ м

$m = 0{,}1$ кг

Найти:

$a_{\text{ц}} - ?$

$\dfrac{F_{\text{тр}}}{P} \cdot 100\% - ?$

$F - ?$

$T - ?$

Решение:

Центростремительное ускорение можно найти по формуле:

$a_{\text{ц}} = \dfrac{\upsilon^2}{R}$.

Так как тело находится от оси вращения на расстоянии $x$, то это есть радиус окружности его вращения $x = R = 0{,}1$ м.

$a_{\text{ц}} = \dfrac{(0{,}2\ \text{м/с})^2}{0{,}1\ \text{м}} = 0{,}4\ \text{м/с}^2$.

Рассмотрим силы, действующие на тело: сила тяжести направлена вертикально вниз, сила реакции опоры вертикально вверх и сила трения, направленная против возможного движения, то есть от оси вращения. Согласно второму закону Ньютона в проекциях:

$N = F_{\text{т}} = mg$;

$F_{\text{тр}} = ma_{\text{ц}}$.

Согласно третьему закону Ньютона: $N = P$.

$P = 0{,}1\ \text{кг} \cdot 10\ \text{м/с}^2 = 1$ Н.

$F_{\text{тр}} = 0{,}1\ \text{кг} \cdot 0{,}4\ \text{м/с}^2 = 0{,}04$ Н.

$\dfrac{F_{\text{тр}}}{P} \cdot 100\% = \dfrac{0{,}04\ \text{Н}}{1\ \text{Н}} \cdot 100\% = 4\%$.

Равнодействующую всех приложенных к телу сил можно найти как произведение массы этого тела и его ускорения:

$F = ma_{\text{ц}} = 0{,}1\ \text{кг} \cdot 0{,}4\ \text{м/с}^2 = 0{,}04$ Н.

Так как движение тела равномерное, то период обращения можно найти как отношение длины окружности к линейной скорости тела:

$T = \dfrac{2\pi x}{\upsilon} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}1\ \text{м}}{0{,}2\ \text{м/с}} = 3{,}14$ с.

Ответ: $a_{\text{ц}} = 0{,}4\ \text{м/с}^2$; $\dfrac{F_{\text{тр}}}{P} \cdot 100\% = 4\%$; $F = 0{,}04$ Н; $T = 3{,}14$ с.

Дано:

график $\upsilon(t)$.

Найти:

$P_{t = 2\ \text{с}} - ?$

$P_{t = 4\ \text{с}} - ?$

$P_{t = 8\ \text{с}} - ?$

Решение:

Изначально с 0 с до 4 с скорость лифта увеличивается, то есть лифт разгоняется. Его ускорение сонаправлено со скоростью.

В момент времени 4 с ускорение лифта равно нулю, скорость лифта постоянна.

Затем с 4 с до 12 с скорость лифта уменьшается, то есть лифт тормозит. Его ускорение противоположно направлению скорости.

На человека в лифте действует сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$. Запишем второй закон Ньютона:

$\vec{F}_{\text{т}} + \vec{N} = m\vec{a}$,

Здесь $m$ — масса человека, $\vec{a}$ — вектор ускорения лифта и человека в нём.

Введём координатную ось, направленную по направлению движения лифта (пусть он поднимается вверх).

1) Спроецируем на неё силы для момента времени $t = 2$ с:

$-F_{\text{т}} + N = ma$; $N = ma + F_{\text{т}} = m(a + g)$.

По третьему закону Ньютона вес и сила реакции опоры составляют ньютоновскую пару сил, тогда они равны по модулю:

$P_{t = 2\ \text{с}} = m(a + g)$.

2) Запишем закон Ньютона для момента времени $t = 4$ с:

$-F_{\text{т}} + N = 0$;

$N = F_{\text{т}} = mg$;

$P_{t = 4\ \text{с}} = mg$.

3) Запишем закон Ньютона для момента времени $t = 8$ с. В этом случае ускорение уже направлено против направления движения лифта:

$-F_{\text{т}} + N = -ma$;

$N = F_{\text{т}} - ma = m(g - a)$.

$P_{t = 8\ \text{с}} = m(g - a)$.

Сравнивая значения веса, получим, что в момент $t = 2$ с наблюдается перегрузка, в момент времени $t = 4$ с вес равен нормальному весу человека в покое, в момент времени $t = 8$ с наблюдается снижение веса тела человека.

Тогда:

$P_{t = 8\ \text{с}} < P_{t = 4\ \text{с}} < P_{t = 2\ \text{с}}$.

Ответ: верная последовательность: $t = 8$ с, $t = 4$ с, $t = 2$ с.

Дано:

$M = 2m$

$\mu_1 = 0{,}55$

$\mu_2 = 0{,}2$

$g = 10$ м/с$^2$

Найти:

$a_2 - ?$

Решение:

Так как брусок двигают вправо относительно плоскости рисунка, доска за счёт действия силы трения будет смещаться влево. Обозначим силы, действующие на брусок, индексом «1», а силы, действующие на доску, — индексом «2». Рассмотрим все силы, действующие на доску:

Открыть изображение ↗

Здесь $\vec{P}_2$ — вес бруска, с которым он действует на доску; $\vec{F}_{\text{тр}1}$ — сила трения между бруском и доской, $\vec{F}_{\text{тр}2}$ — сила трения между доской и поверхностью.

Запишем второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй:

$\vec{F}_{\text{т}2} + \vec{N}_2 + \vec{P}_2 + \vec{F}_{\text{тр}1} + \vec{F}_{\text{тр}2} = M\vec{a}_2$.

В проекциях на оси:

$Ox$: $F_{\text{тр}2} - F_{\text{тр}1} = Ma_2$; $Oy$: $N_2 - F_{\text{т}2} - P_2 = 0$.

Силу трения можно найти:

$F_{\text{тр}2} = \mu_2 N_2$. $N_2 = F_{\text{т}2} + P_2$. $F_{\text{тр}2} = \mu_2 (F_{\text{т}2} + P_2)$.

Вес бруска по модулю согласно третьему закону Ньютона будет равен силе реакции опоры, действующей на этот брусок $N_1$. Так как брусок в вертикальной плоскости покоится, то сила реакции опоры численно равна силе тяжести, действующей на брусок:

$P_2 = N_1 = mg$.

Силу трения между доской и бруском можно найти как произведение коэффициента трения скольжения между бруском и доской и силой реакции опоры, действующей на брусок $N_1$:

$F_{\text{тр}1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$.

Выразим искомое ускорение и выполним подстановку:

$a_2 = \dfrac{F_{\text{тр}2} - F_{\text{тр}1}}{M} = \dfrac{\mu_2 (F_{\text{т}2} + P_2) - \mu_1 mg}{M} = \dfrac{\mu_2 (Mg + mg) - \mu_1 mg}{2m}$; $a_2 = \dfrac{3\mu_2 g - \mu_1 g}{2} = \dfrac{g}{2} (3\mu_2 - \mu_1)$.

Вычисляем:

$a_2 = \dfrac{10\ \text{м/с}^2}{2} (3 \cdot 0{,}2 - 0{,}55) = 0{,}25\ \text{м/с}^2$.

Ответ: $a_2 = 0{,}25$ м/с$^2$.

Зависимость ускорения свободного падения g от высоты тела над землёй h является обратно пропорциональной квадрату расстояния, её график — гипербола. При этом с увеличением расстояния между центрами масс Земли и притягиваемого тела R уменьшается значение ускорения свободного падения:

$g=G M_З/R^2$ .

Значение самого ускорения свободного падения не изменяется со временем, его можно считать константой. Поэтому графиком зависимости $g(t)$ является прямая, параллельная оси времени.

Тело, находящееся в свободном падении, движется равноускоренно. Его скорость линейно возрастает за счёт действия ускорения свободного падения. Графиком является возрастающая прямая.

Дано:

$h = 8850$ м

$R = 6400$ км

СИ:

$R = 6400 \cdot 10^3$ м

Найти:

$\Delta F_{\text{т}} - ?$

Решение:

Силу тяжести, возникающую между человеком, находящимся у поверхности Земли, и планетой, можно найти по формуле:

$F_{\text{т}\,0} = mg$, где $m$ — масса человека, $g$ — ускорение свободного падения.

Расписывая ускорение свободного падения, можно получить:

$F_{\text{т}\,0} = G \dfrac{m M_{\text{З}}}{R^2}$,

где $M_{\text{З}}$ — масса Земли, $R$ — расстояние между человеком и центром планеты.

В случае, когда человек находится на нулевом уровне, расстояние $R$ — это и есть радиус планеты.

В случае, когда путешественник находится на высоте горы Эверест, расстояние увеличивается на высоту горы: $F_{\text{т}} = G \dfrac{m M_{\text{З}}}{(R + h)^2}$.

Найдём разность: $\Delta F_{\text{т}} = F_{\text{т}\,0} - F_{\text{т}} = G \dfrac{m M_{\text{З}}}{R^2} - G \dfrac{m M_{\text{З}}}{(R + h)^2} = G m M_{\text{З}} \left( \dfrac{1}{R^2} - \dfrac{1}{(R + h)^2} \right)$.

Приняв $F_{\text{т}\,0}$ за $100\%$, так как это максимальное значение силы тяжести, найдём $\Delta F_{\text{т}}$ в процентах:

$\Delta F_{\text{т}} = G m M_{\text{З}} \left( \dfrac{1}{R^2} - \dfrac{1}{(R + h)^2} \right) \cdot \dfrac{R^2}{G m M_{\text{З}}} \cdot 100\%$.

$\Delta F_{\text{т}} = \left( 1 - \dfrac{R^2}{(R + h)^2} \right) \cdot 100\%$.

Вычисляем:

$\Delta F_{\text{т}} = \left( 1 - \dfrac{(6400 \cdot 10^3\ \text{м})^2}{(6400 \cdot 10^3\ \text{м} + 8850\ \text{м})^2} \right) \cdot 100\% \approx (1 - 0{,}997) \cdot 100\%$;

$\Delta F_{\text{т}} \approx 0{,}3\%$.

Ответ: $\Delta F_{\text{т}} = 0{,}3\%$.

Дано:

$R = 560$ м

$k = 2$

$g = 10$ м/с$^2$

Найти:

$\upsilon - ?$

Решение:

Рассмотрим все силы, действующие на лётчика. На него действует сила тяжести вертикально вниз $\vec{F}_{\text{т}}$, и сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх. Центростремительное ускорение в нижней точке направлено вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона:

$\vec{F}_{\text{т}} + \vec{N} = m\vec{a}_{\text{ц}}$.

Проецируя на ось $Oy$, направленную также вверх, получим:

$N - F_{\text{т}} = m a_{\text{ц}}$.

По третьему закону Ньютона знаем, что сила реакции опоры по модулю будет равна весу тела:

$N = P$.

Учитывая, что в данной точке лётчик испытывает перегрузку $k = 2$, можно записать, что вес лётчика:

$P = kmg$.

Подставим всё в выражение и распишем силу тяжести:

$kmg - mg = m a_{\text{ц}}$;

$kg - g = a_{\text{ц}}$.

Двигаясь по окружности с постоянным значением линейной скорости, боинг двигается с центростремительным ускорением:

$a_{\text{ц}} = \dfrac{\upsilon^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \upsilon = \sqrt{a_{\text{ц}} R} = \sqrt{(kg - g)R} = \sqrt{(k - 1)gR}$.

Вычисляем:

$\upsilon = \sqrt{(2 - 1) \cdot 10\ \text{м/с}^2 \cdot 560\ \text{м}} \approx 75$ м/с.

Ответ: $\upsilon = 75$ м/с.