При работе с множествами используют специальные знаки:

⊂ — является подмножеством множества (включение)

⊃ — включение

∈ — принадлежит

∉ — не принадлежит

= — все элементы множеств равны

∪ — объединение двух множеств

∩ — пересечение двух множеств

∖ — разность множеств

Разность множеств A и B обозначается A ∖ B, характеризует множество, которое состоит из всех элементов множества A, которые при этом не принадлежат множеству B.

Пересечение двух множеств A и B обозначается A ∩ B, характеризует множество, которое состоит из всех элементов, общих для обоих множеств A и B.

Объединение двух множеств A и B обозначается A ∪ B, характеризует множество, которое состоит из всех элементов множества A и всех элементов множества B.

Дополнение множества A обозначается с помощью универсального множества U: U ∖ A.

$А) B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B (3)$

Б) $U ∖ A = \overline{A} (2)$

В) $B ∖ B = ∅ (5)$

Г) $A ∪ A = A (1)$

Д) $A ∪ \overline{A} = U (4)$

Для числовых множеств приняты специальные обозначения. Используют заглавные буквы с двойным начертанием:

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел;

$\mathbb{Z}$ — множество целых чисел;

$\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел;

$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел;

$\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел.

А) $Z∩N=N(2);$

Б) $Q∩I=∅(4);$

В) $Q∪I=R(1);$

Г) $C∩I=I(3)$, где $I$ — множество иррациональных чисел.

210 = 2∙3∙5∙7

А = {2; 3; 5; 7}

385 = 5∙7∙11

B = {5; 7; 11}

C = A ∪ B = {2; 3; 5; 7; 11}

D = A ∩ B = {5; 7}

Найдём произведение элементов множества C:

2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Найдём произведение элементов множества D:

5 · 7 = 35.

A — множество человек, изучающих английский язык; $n(A) = 30.$

В — множество человек, изучающих французский язык; $n(B) = 28.$

С — множество человек, изучающих немецкий язык; $n(C) = 42.$

Известно, что $n(A∩B∩С)=3$

Открыть изображение ↗ Рис. 1. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Так как $n(A∩B)=8$, то $n((A∩B) \backslash C)=8-3=5$.

Так как $n(B∩C)=10$, то $n((B∩C) \backslash A)=10-3=7$.

Так как $n(A∩C)=5$, то $n((A∩C) \backslash B)=5-3=2$.

C помощью кругов Эйлера определим:

$n(A \backslash (B∪C)) = 30 – 5 – 3 – 2 = 20;$

$n(B \backslash (A∪C)) = 28 – 5 – 3 – 7 = 13;$

$n(C \backslash (A∪B)) = 42 – 2 – 3 – 7 = 30.$

Найдём количество детей, которое занимается языками;

$n(А∪В∪С)= 42 + 20 + 5 + 13 = 80.$

Так как всего учащихся $100$, то количество человек, которые не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий, равно

$100 – 80 = 20.$

Рассмотрим Т — множество целых положительных чисел от 1 до 300 включительно.

А) Так как делится и на 3, и 5, то оно делится и на 15 (3 · 5 = 15). Самое большое число множества Т, которое делится на 15, – 300. 300 : 15 = 20, а самое маленькое — 15.

Получается, что всего таких чисел будет: ${\Large\frac{300-15}{15}}+1=20$.

Б) Аналогичным образом определим количество чисел, которые делятся на $3:{\Large\frac{300-3}{3}}+1=100$, то есть 100 чисел. Поскольку все числа, которые делятся на 15, делятся также на 3, 20 из них ещё делятся на 5. Поэтому количество чисел, которое делятся на 5, но не делятся на 3, найдём как разность: 100 – 20 = 80.

В) Для определения количества чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3, поступим так же:

${\Large\frac{300-5}{2}}+1 = 60$ чисел, которые делятся на 5. 20 из них делятся также на 3, значит, 60 – 20 = 40 чисел делятся на 5, но не делятся на 3.

Г) Множество чисел, которые делятся на 3 или на 5, складывается из множеств из пунктов А, Б и В, поэтому количество чисел, которые делятся на 3 или на 5 = 20 + 80 + 40 = 140.

Д) Количество чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, можно найти как разность общего числа чисел и количества чисел, которые делятся на 3 или на 5: 300 – 140 = 160.