1. По определению математического ожидания: $M(X)=-5⋅0,2+(-2)⋅0,1+4⋅0,1+8⋅0,4+12⋅0,2=4,8$ 2. Дисперсию находим по формуле: $D(X)=M(X^2 )-M^2 (X)$

Для этого по отдельности вычислим $M(X^2 )$ и $M^2 (X)$: $M(X^2 )=(-5)^2⋅0,2+ (-2)^2⋅0,1+4^2⋅0,1+8^2⋅0,4+12^2⋅0,2=61,4$

$M^2 (X)=4,8^2=23,04$

Тогда $D(X)=61,4-23,04=38,36$.

1) $M(X)=-6⋅0,5+6⋅0,5=0$; 2) найдём $M(X^2 )=6^2⋅0,5+6^2⋅0,5=36$, тогда $D(X)=M(X^2 )-M^2 (X)=36-0=36$; 3) $σ=\sqrt{D(X)}=\sqrt{36}=6$.

1. Найдем математические ожидания $X$ и $Y$ по отдельности: $M(X)=-1⋅0,3+1⋅0,2+2⋅0,4+4⋅0,1=1,1$ $M(Y)=-3⋅0,1+3⋅0,5+5⋅0,2+6⋅0,2=3,4$::center

По свойству линейности математического ожидания:

$M(X+Y)=M(X)+M(Y)=1,1+3,4=4,5$

2. Вычислим $M(X^2 )$ и $M(Y^2 )$: $M(X^2 )=(-1)^2⋅0,3+1^2⋅0,2+2^2⋅0,4+4^2⋅0,1=3,7$ $M(Y^2 )=(-3)^2⋅0,1+3^2⋅0,5+5^2⋅0,2+6^2⋅0,2=17,6$::center

Найдём дисперсии величин $X$ и $Y$ по отдельности: $D(X)=M(X^2 )-M^2 (X)=3,7-1,1^2=3,7-1,21=2,49$ $D(Y)=M(Y^2 )-M^2 (Y)=17,6-3,4^2=17,6-11,56=6,04$::center

Так как величины $X$ и $Y$ являются независимыми, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий:

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2,49+6,04=8,53$.

Результаты выпадений на монетах являются независимыми событиями.

Вероятность выпадения орла при броске одной монеты равна $0,6$, тогда вероятность выпадения решки равна: $1-0,6=0,4$.

Вероятность выпадения двух орлов равна произведению: $0,6⋅0,6=0,36$.

Вероятность выпадения двух решек равна: $0,4⋅0,4=0,16$.

Тогда вероятность, с которой на обеих монетах выпадет одно и то же, равна сумме этих вероятностей (либо орёл — орёл, либо решка — решка): $P$(выпало одно и то же)$=P$(два орла)$+P$(две решки)$=0,36+0,16=0,52$

Эта вероятность представляет собой вероятность успеха в серии испытаний Бернулли до первого успеха. Успехом здесь как раз и является выпадение на монетах одного и того же. Таким образом, в задаче фигурирует геометрическое распределение.

Математическое ожидание для геометрического распределения находится по формуле: $M(X)=$$\frac{1}{p}$, где $p$ — вероятность успеха::center Получим: $M(X)=$$\frac{1}{0,52}=\frac{100}{52}=\frac{25}{13}$$≈1,92$.