← Вернуться в журнал

Готовые ответы

Проверено

Непрерывные случайные величины. Зависимость случайных величин

Все задания собраны по порядку. Правильные варианты выделены — можно быстро свериться и разобрать ошибки.

6 заданийОтветы отмеченыПо порядку теста
01

Один вариант

Задание 1 из 6

Выберите верное утверждение. Какое распределение наиболее часто встречается при описании случайных явлений и процессов в природе и обществе?

Варианты ответаПравильный вариант отмечен
Равномерное
НормальноеВерно
Распределение Пуассона
Показательное
02

Числовой ответ

Задание 2 из 6

По таблице значений функции Лапласа найдите: Φ(0,25)=Φ(0,25)= поле ответа 1; Φ(Φ( поле ответа 2 )=0,0319)=0,0319.

Ответы по полямПолей: 2
Поле 10,0987
Поле 20,08
Показать объяснение

В таблице Лапласа из урока находим соответствующие значения функции и аргумента.

xxФ(x)Ф(x)xxФ(x)Ф(x)xxФ(x)Ф(x)
0,000,00000,100,03980,200,0793
0,010,00400,110,04380,210,0832
0,020,00800,120,04780,220,0871
0,030,01200,130,05170,230,0910
0,040,01600,140,05570,240,0948
0,050,01990,150,0596<h-color color="#ff1f1f">0,25</h-color><h-color color="#ff1f1f">0,0987</h-color>
0,060,02390,160,06360,260,1026
0,070,02790,170,06750,270,1064
<h-color color="#ff1f1f">0.08</h-color><h-color color="#ff1f1f">0,0319</h-color>0,180,07140,280,1103
0,090,03590,190,07530,290,1141

Ответ: Ф(0,25)=0,0987Ф(0,25)= 0,0987; Ф(0,08)=0,0319Ф(0,08) = 0,0319.

03

Числовой ответ

Задание 3 из 6

Решите задачу. Непрерывная случайная величина XX задана функцией распределения: F(x)={ㅤㅤ0,еслиㅤx<1x2−18,еслиㅤ1≤x≤3ㅤㅤ1,еслиㅤx>3F(x)=\begin{cases}ㅤㅤ0,еслиㅤx<1\\\frac{x^{2}-1}{8},еслиㅤ1≤x≤3\\ㅤㅤ1,еслиㅤx>3\end{cases}

Найдите значение функции плотности распределения вероятности этой случайной величины в точке 2,52,5.

Ответ: поле ответа 1.

Правильный ответЧисловое значение
0,625
Показать объяснение

Функция плотности вероятности является производной от функции распределения. Найдём производную и получим: f(x)=F′(x)={ㅤㅤ0,еслиㅤx<12x8,еслиㅤ1≤x≤3ㅤㅤ0,еслиㅤx>3f(x)=F'(x)=\begin{cases}ㅤㅤ0,еслиㅤx<1\\\frac{2x}{8},еслиㅤ1≤x≤3\\ㅤㅤ0,еслиㅤx>3\end{cases}

Тогда значение f(x)f(x) в точке x=2,5x=2,5 равно: f(2,5)=f(2,5)= 2⋅2,58\frac{2⋅2,5}{8} =0,625=0,625::center

Ответ: 0,6250,625.

04

Числовой ответ

Задание 4 из 6

Решите задачу. Дана непрерывная случайная величина XX, равномерно распределённая на отрезке [3;11][3; 11]. Найдите вероятность:

а) события 1,5≤X≤81,5≤X≤8; б) события, состоящего в том, что XX отклоняется от своего математического ожидания M(X)M(X) не более чем на 22.

Ответ: а) P=P = поле ответа 1; б) P=P = поле ответа 2.

Ответы по полямПолей: 2
Поле 10,625
Поле 20,5
Показать объяснение

а) Так как случайная величина распределена равномерно на отрезке, то вероятность события, которое заключается в попадании величины в часть этого отрезка, равна отношению длины подходящей части к длине самого отрезка. Общая часть для исходного отрезка [3;11][3; 11] и отрезка в вопросе [1,5;8][1,5; 8] имеет длину 8−3=58-3=5 (здесь отрезки пересекаются). Длина самого отрезка равна 11−3=811-3=8. Тогда получим:

P(1,5≤X≤8)=P(1,5≤X≤8)= 58\frac{5}{8} =0,625=0,625

б) Математическое ожидание для случайной величины, равномерно распределённой на отрезке, равно середине этого отрезка. В нашем случае оно равно: M(X)=M(X)= 11+32\frac{11+3}{2} =7=7.::center

Тогда случайная величина XX будет отклоняться от своего математического ожидания не более чем на 22, только если она будет располагаться на отрезке [7−2;7+2]=[5;9][7-2; 7+2]=[5; 9].

Следовательно, необходимо найти, какую часть составляет длина этого отрезка от длины исходного [3;11][3; 11].

Длина отрезка [5;9][5; 9] равна 9−5=49-5=4.

Длина исходного отрезка [3;11][3; 11], как мы помним, равна 11−3=811-3=8.

Тогда получим: P(5≤X≤9)=P(5≤X≤9)= 48\frac{4}{8} == 12\frac{1}{2} =0,5=0,5.::center

Ответ: а) 0,6250,625; б) 0,50,5.

05

Числовой ответ

Задание 5 из 6

Решите задачу. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения: f(x)={Cx,еслиx∈[3;7)0,еслиx∉[3;7)f(x)=\begin{cases}Cx,если & x ∈ [3;7)\\0,если & x ∉ [3;7)\end{cases}

Найдите константу CC.

Ответ: С=С = поле ответа 1.

Правильный ответЧисловое значение
0,05
Показать объяснение

∫−∞+∞f(x)dx=1.\displaystyle\int\limits_{-∞}^{+∞} f(x)dx=1.::center ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞3f(x)dx+∫37f(x)dx+∫7+∞f(x)dx=∫−∞30⋅dx+∫37Cx⋅dx+∫7+∞0⋅dx=Cx22∣37=C⋅(492−92)=20C.\displaystyle\int\limits_{-∞}^{+∞} f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-∞}^{3}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{3}^{7}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{7}^{+∞}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-∞}^{3}0⋅dx+\displaystyle\int\limits_{3}^{7}Cx⋅dx+\displaystyle\int\limits_{7}^{+∞} 0⋅dx=C \left.\frac{x^2}{{2}}\right\vert_{3}^{7}= C⋅\left(\begin{array}{c}\frac{49}{2}-\frac{9}{2} \end{array}\right)=20C.::center 20C=120C=1 C=120=0,05C=\frac{1}{20}=0,05

Ответ: С=0,05С=0,05.

06

Числовой ответ

Задание 6 из 6

Решите задачу. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: F(x)={ㅤㅤㅤㅤ0,еслиx<4(x−43)2,если4≤x≤7ㅤㅤㅤㅤ1,еслиx>7F(x)=\begin{cases}ㅤㅤㅤㅤ0,если&x<4\\\left(\begin{array}{c}\frac{x-4}{3}\end{array}\right)^{2}, если&4≤x≤7\\ㅤㅤㅤㅤ1,если&x>7\end{cases}::center

Найдите вероятность того, что результат испытаний XX примет значение, принадлежащее отрезку [5;6][5; 6].

Ответ: поле ответа 1.

Правильный ответЧисловое значение
0,33
Показать объяснение

Вероятность того, что случайная величина X, заданная функцией распределения F(x)F(x) примет значение из отрезка [a;b][a; b], равна: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).::center

Для отрезка [5;6][5; 6] получим:

F(6)−F(5)=(6−4)29−(5−4)29=4−19=39=0,33F(6) - F(5) = \frac{(6-4)^{2}}{9}-\frac{(5-4)^{2}}{9}=\frac{4-1}{9}=\frac{3}{9}=0,33.

Ответ: 0,330,33.

Вернуться в журнал11 класс · III четверть · 25 неделя