Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_n (k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$

Найдём $q$ и $n-k$:

$q=1-p=1-0{,}8=0{,}2$

$n-k=51-29=22$

$P_{51} (29)=C_{51}^{29} \cdot 0{,}8^{29} \cdot 0{,}2^{22}$

Воспользуемся формулой Бернулли: $P_n (k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$, где

$n$ ― общее число испытаний, $k$ ― количество успехов.

Определим $n, k, n-k$:

$n=150,k=100⇒n-k=150-100=50$.

Успех — это выпадение $3, 4, 5$ или $6$ очков из $6$ вариантов, поэтому вероятность успеха

$p = {\Large\frac{4}{6}} = {\Large\frac{2}{3}} ⇒ q = 1 - p = 1 - {\Large\frac{2}{3}} = {\Large\frac{1}{3}}$.

Подставим полученные значения в формулу Бернулли:

$P_{150} (100) =C_{150}^{100} \cdot \left({\Large\frac{2}{3}}\right)^{100}\cdot \left({\Large\frac{1}{3}}\right)^{50}$

Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_n (k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$

Так как $n=10,k=3,$ то $n-k=10-3=7$.

Так как $p={\Large\frac{1}{6}}$ (из $6$ различных вариантов может выпасть только $1$ благоприятный ― $2$ очка), то

$q=1-p=1-{\Large\frac{1}{6}}={\Large\frac{5}{6}}$.

Подставим полученные значения в формулу Бернулли:

$P_{10} (3) = C_{10}^3 \cdot \left ({\Large\frac{1}{6}}\right)^3 \cdot \left ({\Large\frac{5}{6}}\right)^7 = {\Large\frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!}} \cdot \left({\Large\frac{1}{6}}\right)^3 \cdot \left({\Large\frac{5}{6}}\right)^7= 0{,}155045… ≈ 0{,}155$

$A$ ― взяли деталь первого набора.

$В$ ― взяли деталь второго набора.

$С$ ― взяли стандартную деталь.

Так как набора всего два, то $P(A)=P(B)=0{,}5$.

Из условия известно, что $P(C|A)=0{,}7; P(C|B)=0{,}8$.

$P=P(A) \cdot P(C|A)+P(B) \cdot P(C|B)=0{,}5 \cdot 0{,}7+0{,}5 \cdot 0{,}8=0{,}35+0{,}4=0{,}75$

Пусть Н ― выпало нечётное число, а Ч ― выпало чётное число, тогда каждому из этих событий благоприятствует $3$ исхода.

Событие «сумма выпавших очков чётна» складывается из событий Н и Н или Ч и Ч, поэтому количество чётных сумм можно найти $3 \cdot 3+3 \cdot 3=18$ ― общее число исходов.

Комбинация $(4; 4) – 1$ ― благоприятный исход.

Вероятность найдём по определению:

$P = {\Large\frac{1}{18}} = 0{,}0555… ≈ 0{,}06$.

$H_{1}$ — продукция удовлетворяет стандарту.

$H_{2}$ — продукция не удовлетворяет стандарту.

$P(H_{1})=0{,}95$

$P(H_{2})=0{,}05$

$A$ — продукция пригодна.

$P(A|H_{1})=0{,}98$

$P(A|H_{2})=0{,}06$

$P=P(H_{1})\cdot P(A|H_{1})+P(H_{2})\cdot P(A|H_{2})=0{,}95\cdot 0{,}98+0{,}05\cdot 0{,}06=0{,}934$

$H_{1}$ — ни первый, ни второй стрелок не попадут.

$P(H_{1})=(1-0{,}6)\cdot(1-0{,}8)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08$

$H_{2}$ — оба стрелка попадут.

$P(H_{2})=0{,}6\cdot 0{,}8=0{,}48$

$H_{3}$ — первый стрелок попадёт, а второй не попадёт.

$P(H_{3})=0{,}6\cdot (1-0{,}8)=0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}12$

$H_{4}$ —первый стрелок не попадёт, а второй попадёт.

$P(H_{4})=(1-0{,}6)\cdot 0{,}8=0{,}4\cdot 0{,}8=0{,}32$

$A$ — в мишени только одна пробоина.

$P(A|H_{1})=0;$ $P(A|H_{2})=0$

$P(A|H_{3})=1;$ $P(A|H_{4})=1$

По формуле Байеса: $P(H_{3}|A)={\Large\frac{P(H_{3})\cdot P(A|H_{3})}{P(H_{3})\cdot P(A|H_{3})+H_{4}\cdot P(A|H_{4})}}={\Large\frac{0{,}12\cdot1}{0{,}12\cdot1+0{,}32\cdot1}}={\Large\frac{0{,}12}{0{,}44}}={\Large\frac{3}{4}}=0{,}2727...\approx0{,}273$.