Зная количество конфет каждого диаметра из их общего числа — $1000$, можно найти частоту, с которой встречался каждый диаметр:

Теперь, учитывая закон больших чисел, мы понимаем, что среднее значение случайной величины $X$ близко к её математическому ожиданию $M(X)$ при достаточно большом количестве испытаний. Так как было измерено $1000$ конфет, можно считать точность приближения достаточной: $M(X)≈X_{ср}=5⋅0,109+6⋅0,547+7⋅0,328+8⋅0,016=6,251$::center

Округляя ответ до десятых, получим $M(X)≈6,3$ см.

Ответ: $6,3$ см.

Запишем неравенство Маркова: $P(X≥δ)≤$ $\frac{M(X)}{δ}$::center

а) Подставим $M(X)=m, δ=2m$: $P(X≥2m)≤$ $\frac{m}{2m}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $=0,5$::center

б) Подставим $M(X)=m, δ=10m$: $P(X≥10m)≤$ $\frac{m}{10m}$ $=$ $\frac{1}{10}$ $=0,1$::center

Подумайте, как обобщить полученный результат для $δ=k⋅M(X)$.

Ответ: а) $0,5$; б) $0,1$.

По условию, вероятность того, что случайно выбранный человек умеет плавать, равна $p = 0,87$. Тогда вероятность того, что не умеет, равна $q = 0,13$.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству человек, умеющих плавать. Она имеет биномиальное распределение, поскольку равна количеству успехов в $n$ испытаниях.

Тогда найдем её матожидание и дисперсию: $M(X)=np=1000⋅0,87=870$::center $D(X)=npq=1000⋅0,87⋅0,13=113,1$::center

Запишем неравенство Чебышёва: $P(|X-M(X)|≥δ)≤$ $\frac{D(X)}{δ^{2}}$::center

Тогда вероятность того, что не менее $800$ человек из $1000$ умеют плавать, будет равна: $P(|X-870|≤70)≥1$ $-$ $\frac{113,1}{70^{2}}$ $=$ $\frac{47869}{49000}$ $≈0,977$::center

Здесь мы перешли к противоположному событию, чтобы не отклониться от $870$ более чем на $70$.

Ответ: $0,977$.