Профильный уровень. Закон больших чисел

Готовые ответы

Проверено

Все задания собраны по порядку. Правильные варианты выделены — можно быстро свериться и разобрать ошибки.

6 заданийОтветы отмеченыПо порядку теста

Один вариант

Задание 1 из 6

Выберите правильный вариант ответа. В чём состоит проявление закона больших чисел?

Варианты ответаПравильный вариант отмечен

Чем меньше повторений опыта проведено, тем больше частоты будут близки к их вероятностям.

При многократном повторении одного и того же опыта частоты событий и вероятности событий будут сильно отличаться.

Частоты событий всегда равны вероятностям.

При многократном повторении одного и того же опыта частоты событий будут близки к их вероятностям.Верно

Несколько вариантов

Задание 2 из 6

Ответьте на вопрос. О каких величинах нужно помнить при измерении вероятности с помощью частоты?

Варианты ответаВерных вариантов: 2

Допустимая вероятность измерения

Вероятность, что допустимая погрешность не будет превышенаВерно

Количество испытаний

Вероятность, что допустимая вероятность не будет превышена.

Допустимая погрешность измеренияВерно

Один вариант

Задание 3 из 6

Решите задачу. В таблице приведены данные по 2000 исследований:

возраст	15	х	25	28
частота	0,24	0,35	0,3	0,11

Математическое ожидание равно 19,78.

Определите неизвестное х.

Варианты ответаПравильный вариант отмечен

16Верно

Числовой ответ

Задание 4 из 6

Решите задачу. На кондитерской фабрике производят печенье квадратной формы.

В таблицу были занесены данные по замерам веса 1000 печений.

Вес, г	18	19	20	21
Количество	287	332	227	154

Найдите частоту для каждого веса печенья.

Вычислите математическое ожидание величины — вес печенья.

Ответ:

частота печенья с весом 18 г — поле ответа 1,

частота печенья с весом 19 г — поле ответа 2,

частота печенья с весом 20 г — поле ответа 3,

частота печенья с весом 21 г — поле ответа 4,

математическое ожидание — поле ответа 5.

Ответы по полямПолей: 5

Поле 10,287

Поле 20,332

Поле 30,227

Поле 40,154

Поле 519,248

Показать объяснение

Зная количество печенья и общее количество, вычислим частоту для каждого веса:

Вес, г	18	19	20	21
Количество	287	332	227	154
Частота	0,287	0,332	0,227	0,154

Учитывая закон больших чисел, мы понимаем, что среднее значение случайной величины близко к её математическому ожиданию M(X) при достаточно большом количестве испытаний.

В нашем случае 1000 испытаний.

$\overline{x}=18\cdot0,287+19\cdot0,332+20\cdot0,227+21\cdot0,154=19,248$

Полученное значение является оценкой математического ожидания.

Один вариант

Задание 5 из 6

Решите задачу. Некоторая случайная величина $X$ имеет математическое ожидание $M(X)=2$ и дисперсию $D(X)=0,05$ .

Используя неравенство Чебышёва, оцените вероятность события $X>2,5$ .

Варианты ответаПравильный вариант отмечен

0,5

0,2

Верно

0,05

0,8

0,02

Числовой ответ

Задание 6 из 6

Решите задачу. По статистическим данным $68$ % жителей страны имеют домашнее животное.

С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность, что из $1000$ случайных жителей не менее $750$ человек имеют домашнее животное.

Результат округлите до тысячных.

Ответ: поле ответа 1.

Правильный ответЧисловое значение

0,044

Показать объяснение

По условию, вероятность того, что случайно выбранный человек имеет домашнее животное, равна $p = 0{,}68$ . Тогда вероятность того, что не имеет, равна $q = 0{,}32$ .

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству человек, имеющих домашнее животное. Она имеет биномиальное распределение, поскольку равна количеству успехов в $n$ испытаниях.

Тогда найдём её матожидание и дисперсию:

$M(X)=np=1000\cdot0{,}68=680$

$D(X)=npq=1000\cdot0{,}68\cdot0{,}32=217{,}6$

Запишем неравенство Чебышёва:

$P(|X-M(X)|>δ)≤\frac{D(X)}{δ^2}$

$P(|X-680|>70)≤\frac{217{,}6}{4900}≈0{,}044$

Ответ: $0{,}044$ .

Вернуться в журнал9 класс · IV четверть · 34 неделя