Нам не важен порядок букв (так как мы будем складывать из получившихся букв слово), поэтому будем искать число сочетаний. $C_{10}^6=\frac{10!}{6!⋅(10-6)!}=\frac{10!}{6!⋅4!}=210$ — всего исходов. Так как благоприятных исходов $1$, то вероятность равна $\frac{1}{210}$. Ответ: 210.

$C_5^2=\frac{5!}{2!⋅(5-2)!}=\frac{5!}{2!⋅3!}=10$ — различных пар. Пара Василий и Дмитрий одна, поэтому вероятность такой ситуации $\frac{1}{10} = 0,1$.

Всего вариантов взять $2$ карточки из $5$ (по правилу умножения): $5⋅4=20.$ Так как буквы не повторяются, то благоприятный исход один — АО. Вероятность события: $\frac{1}{20}$ $=0,05.$

$6,7,8,9$ — последние четыре цифры. $P_4=4!=24$ — различных комбинации. Комбинаций, при которых артикул оканчивается на $789$ или $678:$ $6789, 9678.$ Вероятность равна $\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$ $=0,0833…≈0,08.$

$12 - 7 = 5$ ручек – чёрные. $C_{12}^2=$ $\frac{12!}{2!⋅(12-2)!}=\frac{12!}{2!⋅10!}$ $=66$ – всего вариантов. Количество способов достать одну синюю ручку из $7$ возможных — $C_7^1=7$; количество способов достать одну чёрную ручку из $5$ возможных — $C_5^1=5$. Тогда общее количество благоприятных исходов $C_7^1⋅C_5^1=7⋅5=35$. Найдём вероятность события: $\frac{35}{66}$ $=0,5303…≈0,53$.

Всего пар: $7 + 3 = 10.$ Всего вариантов $C_{10}^6=$ $\frac{10!}{6!⋅(10-6)!}=\frac{10!}{6!⋅4!}$ $=210$. Чтобы вытащить $6$ пар, из которых $3$ пары коротких, нужно: вытащить $3$ пары коротких из $3$ – $C_3^3$ и вытащить еще $3$ пары длинных из $7$ – $C_7^3$. Тогда благоприятных исходов: $C_3^3⋅C_7^3=1⋅$ $\frac{7!}{3!⋅(7-3)!}=\frac{7!}{3!⋅4!}$ $=35$. Вероятность события: $\frac{35}{210}=\frac{1}{6}$ $=0,1666…≈0,17$.