Правильный тетраэдр — правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.

$S_{пов}=4S_{гр}=4\cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}=a^2 \sqrt{3}$ $S_{пов}=18^2~ \sqrt{3}=324\sqrt{3} ~см^2$

Открыть изображение ↗ Рис. 1. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Призма правильная, значит, в основаниях лежат правильные шестиугольники. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Правильный шестиугольник большими диагоналями делится на шесть равных правильных треугольников со сторонами, равными 8.

$S_{осн}=6\cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$S_{осн}=6 \cdot \frac{8^2 \sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}~ см^2$

$V=96\sqrt{3} \cdot 11\sqrt{3} =3168 ~см^3$

$S_{пов}=6 \cdot 8 \cdot 11\sqrt{3}+2 \cdot 96\sqrt{3}=(528+192) \sqrt{3}=720\sqrt{3} ~см^2$

Ответ: объём призмы равен $3168~ см^3$, площадь полной поверхности призмы равна $720\sqrt{3} ~см^2$.

Параллелепипед — это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

В прямом параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны основаниям, но вид оснований от этого не зависит, поэтому в общем случае основанием является параллелограмм.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат, — это прямая призма с правильным многоугольником в основании, то есть правильная призма.

Открыть изображение ↗ Рис. 2. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

$S_{BB_1 D_1 D}=BD\cdot DD_1$

Треугольник $ABD$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=100~ см$

$DD_1=500∶100=5 ~см$

$V=AD \cdot DC \cdot DD_1$

$V=80 \cdot 60 \cdot 5=24000 ~см^3$

Открыть изображение ↗ Рис. 3. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскости основания. Боковое ребро является высотой призмы.

Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Из теоремы Пифагора:

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=100 см.$

$AA_1 B_1 B$ — большая боковая грань.

$S_{AA_1 B_1 B}=AB \cdot BB_1$

$BB_1=400∶100=4$ см

Правильная треугольная пирамида — пирамида, в основании которой правильный треугольник, вершина проецируется в центр.

Открыть изображение ↗ Рис. 4. Автор Хабибуллин А. О. (СХАО-9124 от 09.01.2024 г.)

$AM$ — высота равностороннего треугольника $ABC$.

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$ м.

$AH=\frac{2}{3} AM=10\sqrt{3}$ м (по свойству медиан треугольника).

Треугольник $ADH$ — прямоугольный:

$tg ∠DAH=\frac{DH}{AH}$

$DH=10\sqrt{3}\cdot tg ~30°=10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=10 м$

По теореме косинусов: $AB^2=AC^2+BC^2-2AC \cdot BC \cdot cos⁡~α$

$AB=\sqrt{8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot cos⁡~120°}=\sqrt{128-128 \cdot (-0,5)}=\sqrt{128+64}=\sqrt{64 \cdot 3}=8\sqrt{3}$ см.

$S_{AKLB}=AB \cdot AK=32\sqrt{3} ~см^2$,

$AK=32\sqrt{3} ∶8\sqrt{3}=4$ см — высота призмы.

$S_△=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot sin⁡~α$

$S_△=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin⁡~120°=32 \cdot \sqrt{3}/2=16\sqrt{3} ~см^2$