Открыть изображение ↗

$LP⊥KN$, тогда $PL∥NM$.

$NP∥ML$, $PL∥NM$, ∠$PNM = 90°$ ⇒ $NPLM$ — прямоугольник.

$KP = NK - NP$, $NP = ML$.

$KP = 37,5 - 27,5 = 10$ см.

△$PKL$ — прямоугольный, из теоремы Пифагора:

$PL = \sqrt{26^{2}-10^{2}} = \sqrt{676-100} = \sqrt{576} = 24$ см.

$NM = PL = 24$ см (противоположные стороны прямоугольника).

Ответ: $24$ см.

Открыть изображение ↗

$AB = 20$ см, угол $BAC$ — линейный угол двугранного угла, равен $30°$.

Расстояние от точки $B$ до второй грани двугранного угла — $BC$.

$sin$ ∠$BAC$ $= \Large\frac{BC}{AB}$,

$BC = AB ⋅ sin⁡$ $∠BAC = 20 ⋅ {\Large\frac{1}{2}} = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

1. Величина угла между плоскостями ($BCC₁$) и ($ADD₁$) равна $0°$, так как эти плоскости параллельны.

2. Величина двугранного угла между плоскостями ($ABB₁$) и ($ABC$) равна $90°$, так как данные плоскости перпендикулярны. ($ABB₁$) — боковая плоскость, а ($ABC$) – плоскость основания.

3. Величина двугранного угла между плоскостями ($ACC₁$) и ($CDD₁$) равна величине линейного угла. $AC⊥CC₁$, $DC⊥CC₁$, линейным углом является угол $ACD$. ∠$ACD = 90 : 2 = 45°$.

∠$DAB = 30°$, так как это угол между наклонной $AD$ и плоскостью $α$.

$sin⁡$ ∠$DAB = {\Large\frac{DB}{AD}} ⇒ AD = {\Large\frac{DB}{sin⁡ ∠DAB}} = 24 : {\Large\frac{1}{2}} = 48$ см.

∠$DCB = 45°$, так как это угол между наклонной $DC$ и плоскостью $α$.

$sin⁡$ ∠$DCB = {\Large\frac{DB}{CD}} ⇒ DC = {\Large\frac{DB}{sin⁡ ∠DAB}} = 24 : {\Large\frac{\sqrt{2}}{2}} = 48 : \sqrt{2} ≈ 33,9$ см.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла.

а) Если $ABCD$ — квадрат, то $AB⊥AD$, и по теореме о трёх перпендикулярах $KA⊥AD$.

Линейным углом будет угол $KAB$ (рисунок 4).

б) Если $ABCD$ — параллелограмм (не прямоугольник), то линейный угол изображён на рисунке 2.

Рисунок 1. На нём $KD$ не является перпендикуляром к ребру $AD$, а $BD$ не является перпендикуляром к ребру $AD$.

Рисунок 3. Изображён угол не между плоскостями $AKD$ и $ABC$.

Если в треугольнике две стороны равны, то такой треугольник равнобедренный.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в некой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Открыть изображение ↗

$CB$ — перпендикуляр, $CM$ — наклонная, $BM$ — проекция наклонной.

По теореме о трёх перпендикулярах: $EM⊥BM$, значит, $EM⊥CM$. То есть длина отрезка $CM$ — расстояние от точки $C$ до стороны $ME$.

Найдём $BM$ с помощью теоремы Пифагора:

$BM = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Треугольник $CBM$ — прямоугольный, из теоремы Пифагора:

$CM = \sqrt{32^{2} + 24^{2}} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$ см.

Ответ: $40$ см.

Треугольник $KAB$ — прямоугольный, по теореме Пифагора:

$$AK = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$$.

Аналогично, треугольник $KCB$ — прямоугольный, по теореме Пифагора:

$$CK = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = 25$$.

$sin$ $⁡α = {\Large\frac{KB}{AK}} = {\Large\frac{20}{25}} = {\Large\frac{4}{5}} = 0,8$,

$sin$ $⁡β = {\Large\frac{KB}{CK}} = {\Large\frac{20}{25}} = {\Large\frac{4}{5}} = 0,8$.

Ответ: $sin⁡$ $α = 0,8$; $sin⁡$ $β = 0,8$.