← Вернуться в журнал

Готовые ответы

Проверено

Виды треугольников. Основные факты

Все задания собраны по порядку. Правильные варианты выделены — можно быстро свериться и разобрать ошибки.

8 заданийОтветы отмеченыПо порядку теста
01

Числовой ответ

Задание 1 из 8

В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота ВН к основанию АС. Известно, что угол НСВ равен 21°. Найдите ∠ABH.

Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
69
Показать объяснение

image002.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Треугольник равнобедренный, углы при основании равны:

∠A=∠C=21°∠A=∠C=21°

∠ABC=180°−21°−21°=138°∠ABC=180°-21°-21°=138°

Высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является биссектрисой.

∠ABH=∠ABC∶2=138°∶2=69°∠ABH=∠ABC∶ 2=138°∶ 2=69°

02

Числовой ответ

Задание 2 из 8

Точки A, B и C не лежат на одной прямой, при этом точка B находится на одинаковых расстояниях от точек A и C. Определите величину угла β, если α = 133°. 5.pngОткрыть изображение ↗ Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
47
Показать объяснение

Так как точка BB находится на одинаковом расстоянии от точек AA и CC, то BA=BCBA=BC. Треугольник ABCABC — равнобедренный, значит,

∠BAC=∠BCA∠BAC=∠BCA как углы при основании.

∠BCA=180°−α=180°−133°=47°∠BCA=180°-α=180°-133°=47° (углы BCABCA и αα смежные).

β=∠BACβ=∠BAC как вертикальные.

β=∠BAC=∠BCA=47°.β=∠BAC=∠BCA=47°.

03

Числовой ответ

Задание 3 из 8

Точка О ― точка пересечения высот КB и LC треугольника KLM. Под каким углом пересекаются эти высоты, если угол MKL = 53°, а угол KLM = 67°? Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
60
Показать объяснение

image019.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

∠MKL=53°,∠KLM=67°.∠MKL=53°,∠KLM=67°.

Высоты пересекаются под углом KOCKOC.

△KLC△KLC ― прямоугольный.

∠KLC=180°−90°−53°=37°.∠KLC=180°-90°-53°=37°.

△KBL△KBL ― прямоугольный.

∠BKL=180°−90°−67°=23°.∠BKL=180°-90°-67°=23°.

В треугольнике KLOKLO:

∠KOL=180°−∠KLC−∠BKL=180°−37°−23°=120°∠KOL=180°-∠KLC-∠BKL=180°-37°-23°=120°

∠KOC∠KOC и ∠KOL∠KOL смежные углы, поэтому

∠KOC=180°−∠KOL=180°−120°=60°∠KOC=180°-∠KOL=180°-120°=60°

04

Числовой ответ

Задание 4 из 8

В равнобедренном треугольнике СМТ боковая сторона СМ в три раза длиннее основания СТ. Найдите длины сторон треугольника, если его периметр равен 210 см. Ответ:

СМ = поле ответа 1 см.

МТ = поле ответа 2 см.

СТ = поле ответа 3 см.

Ответы по полямПолей: 3
Поле 190
Поле 290
Поле 330
Показать объяснение

image035.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Пусть CT=xCT=x см, тогда CM=MT=3xCM=MT=3x см.

x+3x+3x=210x+3x+3x=210

7x=2107x=210

x=30x=30

CT=x=30CT=x=30 см,

CM=MT=3x=3⋅30=90CM=MT=3x=3 \cdot 30=90 см.

05

Числовой ответ

Задание 5 из 8

В равнобедренном треугольнике из вершины угла при основании проведены биссектриса и высота. Найдите угол между высотой и биссектрисой, если угол, лежащий напротив основания, равен 28°.

Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
24
Показать объяснение

Пусть в треугольнике ABCABC AB=BCAB = BC, AHAH — высота, AKAK — биссектриса.

∠ABC=28°∠ABC=28°

∠BAC=∠BCA=(180°−28°)∶2=152°∶2=76°∠BAC=∠BCA=(180°-28°) ∶2=152°∶2=76°

AKAK — биссектриса, значит, ∠BAK=∠CAK=76°∶2=38°∠BAK=∠CAK=76°∶2=38°

В треугольнике ACHACH:

∠CAH=180°−∠H−∠C=180°−90°−76°=14°∠CAH=180°-∠H-∠C=180°-90°-76°=14°

∠KAH=∠KAC−∠CAH=38°−14°=24°∠KAH=∠KAC-∠CAH=38°-14°=24°

Ответ: 24°24°.

06

Числовой ответ

Задание 6 из 8

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка О ― точка пересечения биссектрис углов А и С. Найдите угол АВС, если угол АОС равен 126°. Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
72
Показать объяснение

image054.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=180°−126°=54°∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=180°-126°=54°

AOAO и COCO ― биссектрисы треугольника, тогда

∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)=2⋅54°=108°∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)=2 \cdot 54°=108°

∠ABC=180°−(∠BAC+∠BCA)=180°−108°=72°∠ABC=180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-108°=72°

07

Краткий ответ

Задание 7 из 8

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АТ и СР. Определите длину биссектрисы угла A, если длина биссектрисы угла C равна 22 см. Решение:

Рассмотрим треугольники ΔTAC и Δ поле ответа 1.

1. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠поле ответа 2 = ∠BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∠поле ответа 3 = ∠TAC = ∠BCP = ∠поле ответа 4.

3. У рассматриваемых треугольников общая сторона поле ответа 5.

Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны AT = CP. Длина искомой биссектрисы поле ответа 6 см.

Ответы по полямПолей: 6
Поле 1PCA
Поле 2BAC
Поле 3TAB
Поле 4PCA
Поле 5AC
Поле 622
Показать объяснение

image060.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Рассмотрим треугольники ΔTACΔTAC и ΔPCAΔPCA.

1. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠BAC=∠BCA∠BAC = ∠BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∠TAB=∠TAC=∠BCP=∠PCA∠TAB= ∠TAC = ∠BCP = ∠PCA.

3. У рассматриваемых треугольников общая сторона ACAC.

Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны AT=CPAT = CP.

Длина искомой биссектрисы — 2222 см.

08

Числовой ответ

Задание 8 из 8

В равнобедренном треугольнике KPE на основании КЕ отмечены точки А и В так, что КА = ВЕ, а угол ЕВР равен 122°. Найдите угол ВАР. Ответ: поле ответа 1°.

Правильный ответЧисловое значение
58
Показать объяснение

image066.pngОткрыть изображение ↗ Иллюстратор Семеркова Ю. В.

Треугольник EKPEKP ― равнобедренный, значит, KP=EPKP=EP, ∠K=∠E∠K=∠E.

По условию KA=EBKA=EB.

Значит, △KAP=△EBP△KAP=△EBP по двум сторонам и углу между ними.

Тогда PA=PBPA=PB.

Получаем, что △PAB△PAB ― равнобедренный, ∠PAB=∠PBA∠PAB=∠PBA.

∠PBE∠PBE и ∠PBA∠PBA ― смежные.

∠PBA=180°−122°=58°=∠BAP∠PBA=180°-122°=58°=∠BAP

Вернуться в журнал7 класс · III четверть · 23 неделя