$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

$p={\Large\frac{2}{6}}={\Large\frac{1}{3}}$

$q=1-p=1-{\Large\frac{1}{3}}={\Large\frac{2}{3}}$

$n=6, k=4$

$P_{6}(4)=C^{4}_{6}\cdot \left( {\Large\frac{1}{3}} \right)^{4}\cdot \left( {\Large\frac{2}{3}} \right)^{6-4}={\Large\frac{6!}{4!(6-4)!}}\cdot {\Large\frac{1}{81}}\cdot {\Large\frac{4}{9}}={\Large\frac{20}{243}}\approx 0,0823$

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

$p={\Large\frac{1}{2}}$

$q=1-p=1-{\Large\frac{1}{2}}={\Large\frac{1}{2}}$

$n=7, k=2$

$P_{7}(2)=C^{2}_{7}\cdot \left( {\Large\frac{1}{2}} \right)^{2}\cdot \left( {\Large\frac{1}{2}} \right)^{7-2}={\Large\frac{7!}{2!(7-2)!}}\cdot {\Large\frac{1}{4}}\cdot {\Large\frac{1}{32}}={\Large\frac{21}{128}}\approx 0,164$

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

$p=0,7$

$q=1-p=1-0,7=0,3$

$n=5, k=3$

$P_{5}(3)=C^{3}_{5}\cdot 0,7^{3}\cdot 0,3^{5-3}={\Large\frac{5!}{3!(5-3)!}}\cdot 0,343\cdot 0,09=0,3087$

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

$p=0,7$

$q=1-p=1-0,7=0,3$

$n=5$

$P_{5}(2)=C^{2}_{5}\cdot 0,7^{2}\cdot 0,3^{5-2}={\Large\frac{5!}{2!(5-2)!}}\cdot 0,49\cdot 0,027=0,1323$

$P_{5}(3)=C^{3}_{5}\cdot 0,7^{3}\cdot 0,3^{5-3}={\Large\frac{5!}{3!(5-3)!}}\cdot 0,343\cdot 0,09=0,3087$

$P_{5}(4)=C^{4}_{5}\cdot 0,7^{4}\cdot 0,3^{5-4}={\Large\frac{5!}{4!(5-4)!}}\cdot 0,2401\cdot 0,3=0,36015$

$P_{5}(2)+P_{5}(3)+P_{5}(4)=0,1323+0,3087+0,36015=0,80115\approx 0,8$

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

$p=0,2$

$q=1-p=1-0,2=0,8$

$n=6$

а) $P_{6}(1)=C^{1}_{6}\cdot 0,2^{1}\cdot 0,8^{6-1}={\Large\frac{6!}{1!(6-1)!}}\cdot 0,2\cdot 0,32768=0,393216$

$P_{6}(0)=q^{6}=0,8^{6}=0,262144$

$P_{6}(1)+P_{6}(0)=0,393216+0,262144=0,65536$

б) Найдём вероятность того, что все шесть ламп потребуется ремонтировать в течение гарантийного срока:

$P$ (все лампы потребуют ремонта) $=p^{6}=0,2^{6}=0,000064$

Событие, что хотя бы одна лампа не потребует ремонта, является противоположным к найденному. Поэтому его вероятность:

$P$ (хотя бы одна не потребует ремонта) $=1-0,000064=0,999936.$