1) Первую цифру выбираем 5 способами, вторую — 5 способами, третью — 4 способами, четвёртую — 3 способами.

5·5·4·3=300 различных номеров.

2) Первую цифру выбираем 5 способами, каждую из остальных — 6 способами.

5·6·6·6=1080 различных номеров.

Нужно «разместить» 4 человек из 20 по 4 должностям.

$A_{20}^4=$$\frac{20!}{(20 - 4)!}$$=20·19·18·17=116\,280$ способов.

Каждая из $29$ точек с каждой из остальных $28$ точек образует упорядоченную пару, лежащую на одной прямой. Таких пар $29·28$ штук. Но прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, и прямая, проходящая через точки $B$ и $A$, — одна и та же, поэтому количество прямых будет в $2$ раза меньше.

$\frac{29 · 28}{2}$$=406$ прямых. Если прямых $n$ штук, то каждая точка образует $n(n-1)$ упорядоченных пар. Прямых будет в $2$ раза меньше: $\frac{n(n-1)}{2}$

1. $6$ различных предметов распределяются по $6$ местам. Нужно посчитать количество перестановок.

$P_n=n!$

$P_6=6!=6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720$ вариантов.

2. Так как уроки могут повторяться, то каждый урок можно выбрать 6 способами:

$6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6= 46\,656$ вариантов.

Каждую из первых четырёх цифр можно выбрать $5$ способами. Последняя цифра должна быть чётной, чтобы число делилось на $2$. Среди данных цифр только одна чётная, поэтому пятизначное число должно оканчиваться цифрой $8$.

$5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1= 625$ чисел.

$C_n^k=$$\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$ Выбираем $2$ яблока из $17$. Нужно найти число сочетаний: $C_{17}^2=$$\frac{17!}{2! ⋅ (17 - 2)!}$$=136$ способов. Выбираем $2$ груши из $14$. Нужно найти число сочетаний: $C_{14}^2=$$\frac{14!}{2! ⋅ (14 - 2)!}$$=91$ способ. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения: $C_{17}^2·C_{14}^2=136·91=12\,376$ способов.

Пусть на встрече было $n$ одноклассников. Тогда каждый пожал руку $(n-1)$ однокласснику. Вася жмёт руку Пете, а Петя — Васе одним рукопожатием, поэтому количество рукопожатий выражается как $\frac{n · (n - 1)}{2}$.

$\frac{n·(n-1)}{2}$$=153$ $n^2-n=306$ $n^2-n-306=0$ $n_1=18$, $n_2=-17$ Количество одноклассников выражается натуральным числом, поэтому на встрече было $18$ одноклассников.

1) Выбираем $2$ мальчиков из $9$. Для подсчёта количества способов выбора используем число сочетаний. Аналогично поступаем при выборе $2$ девочек из $10$. И применяем комбинаторное правило умножения.

$C_9^2·C_{10}^2=$$\frac{9!}{2! ⋅ (9 - 2)!}\cdot\frac{10!}{2! ⋅ (10 - 2)!}$$=1620$ способов.

2) Количество способов выбрать $3$ мальчиков из $9$ умножаем на количество способов выбрать одну девочку из $10$.

$C_9^3·10=$$\frac{9!}{3! ⋅ (9 - 3)!}$$·10=840$ способов.

3) Количество способов выбрать $4$ мальчиков из $9$:

$C_9^4=$$\frac{9!}{4! ⋅ (9 - 4)!}$$=126$ способов.

4) Мальчиков в команде может быть $2$, $3$ или $4$. Если мальчиков $2$, то девочек $2$. Количество способов выбрать команду равно $1620$ (посчитано в первом пункте).

Если мальчиков $3$, то девочка одна. Количество способов выбрать команду равно $840$ (посчитано во втором пункте).

Если мальчиков $4$, то девочек в команде нет. Количество способов выбрать команду равно $126$ (посчитано в третьем пункте).

Применяем комбинаторное правило сложения. $1620+840+126=2586$ способов.